Bài giảng Định lý Con nhím và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

Bài giảng Định lý Con nhím và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng được biên soạn với các nội dung: Mục đích, chuẩn bị của giáo viên và học sinh, dự kiến phương pháp giảng dạy, tiến trình dạy học. Để hiểu rõ hơn về bài giảng mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Định lý Con nhím và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng Định lý Con nhím và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng Trần Mạnh Sang1. Mục tiêu Sau bài này, học sinh cần nắm được a. Kiến thức: Biết định lý Con nhím và cách chứng minh định lý. b. Kĩ năng: Biết vận dụng định lý trong việc giải một số bài toán hình học phẳng, đặc biệt là chứng minh hai đường thẳng vuông góc.2. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh a. Giáo viên: Chuẩn bị giáo án, một số bài tập cho học sinh. b. Học sinh: Ôn lại định nghĩa và tính chất của vecto, các phép toán: Cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc tìm tổng hai vecto.3. Dự kiến phương pháp giảng dạyVấn đáp, gợi mở, trực quan, thuyết trình.4. Tiến trình dạy học.Thực hiện bài học trong 4 tiết.Tiết 1.Có nhiều bài toán hình học phẳng mà nếu giải theo phương pháp hình học thuần thúy thìsẽ rất khó khăn. Tuy nhiên, khi sử dụng công cụ vecto thì việc giải quyết bài toán trở lênđơn giản. Một trong các định lý về vecto có ứng dụng lớn là định lý Con nhím.Chúng ta cùng nghiên cứu định lý Con nhím và các ứng dụng của nó.Trước hết chúng ta cùng nhắc lại một số kiến thức về vecto:Định nghĩa , phép cộng , trừ hai vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc hình bìnhhành, quy tắc 3 điểm.Ta đến với hai kết quả quan trọng sau: 1.Cho ABC và điểm M thuộc cạnh BC.Khi đó ta có:  MC  MB  AM  . AB  . AC A BC BC Chứng minhKẻ MN song song với AB NTheo định lý Talet, ta có:  AN MC   AN  MC   AB  BC  AN  AB . AB  BC . AB  suy ra    MN MB  NM  MN  MB   . AC  . AC  AC BC  AC BC C M BTa có:    MC  MB  AM  AN  NM  . AB  . AC BC BC 2.Cho ABC với BC  a, CA  b, AB  c . Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp của tamgiác. Khi đó:     aIA  bIB  cIC  0 .Chứng minhKẻ phân giác AA’, BB’, CC’ lần lượt của góc A, B, C.Việc tính tổng của nhiều vecto, chúng ta thường có bước tổng hợp từng cặp vecto. Tadựng hình bình hành ANIM sao cho C’ thuộc IN và B’ thuộc IM.Khi đó    AI  AM  AN AÁp dụng định lý Talet ta có AM AB AB c M IC  B C  CB  a  N B  AN  AC  AC  b C I  IB C B CB aHay  c  AM  a IC B A C     AN  b IB  aSuy ra  c  b  AI  IC  IB a  a     aIA  bIB  cIC  0 .Chúng ta đến với bài toán sau:Bài toán: Đường tròn tâm I nội tiếp ABC , tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt    tại M, N, P. Chứng minh rằng: aIM  bIN  cIP  0 .Chứng minhTa có biến đổi:    A aIM  bIN  cIP             a IA  AM  b IB  BN  c IC  CP  N          aIA  bIB  cIC  a AM  bBN  cCP     P  a AM  bBN  cCP I  MC  MB    AN  CN   a AB  AC   b  BC  BA   a a   b b  B M C  AP   BP    c CB  CA   c c      MC  CN  AB   AN  AP  BC   BP  MB  CA  0.Ta có điều phải chứng minh. Chúng ta cùng đến với kết quả chính của phần này Định lý Con nhím:   Cho đa giác lồi A1 A2 ... An và ei 1  i  n  là vecto đơn vị vuông góc với Ai Ai 1 ( xem An 1  A1 ) và hướng ra ngoài đa giác. Khi đó ta có đẳng thức:     A1 A2 e1  A2 A3 e2  ...  An A1 en  0 . Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp. Với n=3, ta xét định lý trong tam giác ABC. Định lý đúng do bài toán trên. Giả sử định lý đúng với n=k, ta xét với n=k+1.  Gọi e là vecto đơn vị vuông góc với A1 Ak và hướng ra ngoài tam giác A1 Ak Ak 1 . Trong tam giác A1 Ak Ak 1 , ta có:     A1 Ak e  Ak Ak 1 ek  Ak 1 A1 ek 1  0 Theo giả thiết quy nạp, trong đa giác A1 A2 ... Ak ta có A_      k+ A_ A1 A2 e1  A2 A3 e2  ...  Ak 1 Ak ek 1  Ak A1 (e)  0 A_ 1 k Suy ra      1 A1 A2 e1  A2 A3 ...