Bài giảng Độ đo và tích phân (dành cho sinh viên khoa Toán) - Thái Thuần Quang

Bài giảng Độ đo và tích phân (dành cho sinh viên khoa Toán) gồm 2 chương, trình bày về độ đo và tích phân Lebesgue. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Độ đo và tích phân (dành cho sinh viên khoa Toán) - Thái Thuần Quang thái thuần quangBài giảngĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂNDÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNMục lụcChương 1. Độ đo 1 1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Định lý thác triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Độ đo trên Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Độ đo trên không gian Rk , (k > 1) . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 Các định nghĩa và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi” . . . . . . . 26 1.5.4 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Chương 2. Tích phân Lebesgue 33 2.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.3 Tích phân các hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1 Tính chất cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4 Tính chất khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Các kết quả về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . 46 2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập . . . . . . . . . . . . . 47 2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các thiết diện của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . 54 2.4.3 Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Chỉ mục 60Chương 1Độ đo 1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Độ đo trên Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.1. Đại số tập hợp Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập X cho trước. Một lớp các tập con của X gọi là kín đối với phép toán (nào đó) nếu kết quảthực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó.1.1.1 Đại số Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữuhạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, hiệu đối xứng).Định lý 1.1.1.1. Một lớp C là một đại số và chỉ khi C 6= ∅ và thỏa mãn hai điềukiện a) A, B ∈ C =⇒ A ∪ B ∈ C, b) A ∈ C =⇒ Ac = X A ∈ C.1.1. Đại số tập hợp ...