Học phần Độ đo và Tích phân

Học phần Độ đo và Tích phân gồm 2 chương, trình bày về độ đo và tích phân Lebesgue. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Học phần Độ đo và Tích phân HỌC PHẦN ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN CHƯƠNG I. ĐỘ ĐO $1. ĐẠI SỐ. σ - ĐẠI SỐ1. Đại sốa) Định nghĩa 1. Cho tập hợp X ≠ φ . Một họ N các tập con củaX được gọi là một đại số các tập con của X, nếu N thoả mãn ba điềukiện sau: (i) X ∈ N; (ii) A∈ N ⇒ CXA = X A N; ∈ (iii) A1, A2, ... , An∈ n N ⇒ UA N. ∈ k k=1b) Các tính chất Cho N là đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó N có các tínhchất sau đây: 1. φ ∈N ; 2. A1, A2, ... , An ∈N ⇒ I n Ak ∈ N ; k =1 3. A, B ∈N ⇒ A B ∈ N.Chứng minh.1. được suy từ (i), (ii) 2. được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan: n n C ( I Ak ) = U CAk k =1 k =13. được suy từ (ii), tính chất 2 vừa chứng minh và công thức AB=A CXB∩Nhận xét Đại số các tập con của tập hợp X có tính chất khép kín đối với các phép toán : hợp hữu hạn, giao hữu hạn, hiệucác tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các phép toánnày trên các phần tử của N thì kết quả sẽ là các phần tử của N).c) Các ví dụ {1. Cho A ⊂ X . Đặt N = φ , X , A, C A . X } Khi đó N là một đại số các tập con của X.2. Cho X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 2, 4, 6 }, C = { 1, 2, 4, 7 }, D = { 3, 5, 6 }. Đặt N = { φ , X, A, B, C, D }. Hãy kiểm tra xem N có là một đạisố các tập con của X?3. Cho N là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãnđiều kiện : Nếu A, B ∈ N thì X A N và A ∈ B N. ∩ ∈ σ Chứng minh rằng N là một đại số các tập con của X.2. - đại sốa) Định nghĩa 2. Cho tập hợp X ≠ φ . Một họ M các tập con củaX được gọi là một σ - đại số các tập con của X, nếu M thoả mãnba điều kiện sau: (i) X ∈ M ; (ii) A∈ M ⇒ CXA = X A ∈ M ; ∞ (iii) A1, A2, ... , An , ... ∈ M⇒ U A M . ∈ k k =1 σb) Các tính chất Cho M là một - đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó Mcó các tính chất sau đây: 1. M là một đại số các tập con của X; 2. φ ∈M; 3. A1, A2, ... , An ∈M ⇒ I n Ak ∈ M ; k =1 4. A, B ∈M ⇒ A B∈M ; 5. A1, A2, ... , An , ... ∈M ⇒ I ∞ Ak ∈ M . k =1Chứng minh.- Tính chất 1 được suy từ (i), (ii) và (iii) khi đặt An+1 = An+2 = ... = φ.- Tính chất 2, 3, 4 được suy từ tính chất 1 vừa chứng minh. - Tính chất 5 được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan: ∞ ∞ C ( I Ak ) = U CAk k =1 k =1Nhận xét σ - đại số các tập con của tập hợp X có tính chất khépkín đối với các phép toán : hợp đếm được, giao đếm được của các tậphợp, hiệu hai tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện cácphép toán này trên các phần tử của M thì kết quả sẽ là các phần tử củaM ).c) Các ví dụ1. Cho tập hợp X ≠ φ . Họ tất cả các tập con của tập hợp X làmột σ - đại số các tập con của tập hợp X.2. Cho M là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãnhai điều kiện : a) A ∈ M ⇒XA M; ∈ , ... ∈ M Ak ∈ M ∞ b) A1, A, ... , An ⇒ I . σ k =1 σ Chứng minh rằng M là một - đại số các tập con của X.3. Cho M là một - đại số các tập con của tập hợp X và Z M. ∈ σ Đặt MZ là họ tất cả các tập hợp thuộc M và chứa trong Z. Chứng minh MZ là một - đại số các tập con của tập hợp Z.$2. ĐỘ ĐO1. Tập hợp số thực không âm mở rộng Cho tập hợp số thực không âm [0,+∞) . Ta bổ sung cho tập hợp này một phần tử l ...