Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân: Phần 2

Phần 2 Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân gồm nội dung chương 5 đến chương 8, bao gồm: Chương 5 - Tích phân Lebesgue trừu tượng. Hàm khả tích; chương 6 - Các không gian Lebesgue Lp và Lp (1 ≤ p ≤ ∞); chương 7 - Các dạng hội tụ; chương 8 - Độ đo tích, độ đo ảnh, độ đo cảm sinh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân: Phần 2Chương 5Tích phân Lebesgue trừu tượng.Hàm khả tích Bây giờ, ta xét trường hợp các hàm f định nghĩa trên E nhận giá trị trong R, R hoặcC.5.1 Định nghĩa và tính chất5.1.1 Định nghĩa Z∗ Hàm f đo được từ (E, B, µ) vào (R, BR ) gọi là µ − khả tích nếu f + dµ < +∞ và EZ∗ f − dµ < +∞.E Ta đặt: Z Z∗ Z∗ L(f ) = f dµ = f + dµ − f − dµ E E E Z Z = f + dµ − f − dµ E EĐiều này mở rộng trường hợp một hàm f ≥ 0 (f − = 0). L(f ) gọi là tích phân Lebesguetrừu tượng của f trên E. (Ta chỉ cần xét trường hợp E vì trên A ∈ B hệ thức: Z Z f dµ = f · 1A dµ A Eđã thiết lập cho trường hợp hàm dương được suy rộng cho trường hợp tổng quát này).5.1.2 Ví dụ Ta lấy lại các ví dụ đã nêu ở chương 4.5.1 Định nghĩa và tính chất 60Độ đo Dirac: δa khối lượng tại một điểm a. Với mọi A, ta có: Z∗ ( 1 nếu a ∈ A 1A dδa = 1A (a) = δa (A) = 0 nếu a ∈ /A E Mặt khác giả sử f ≥ 0. f 7−→ f (a) thỏa mãn điều kiện (i) và (ii) của định lý tồn tại, đẳng thức trên chứng tỏ nó cũng thỏa mãn cả (iii), do đó: Z∗ f dδa = f (a) E Vậy f là δa − khả tích khi và chỉ khi f (a) < +∞. (f ≥ 0). Với f bất kỳ, f là δa − khả tích khi và chỉ khi |f (a)| < ∞.Độ đo rời rạc: µ hình thành bởi khối lượng αn đặt ở điểm xn với cùng phương pháp, ta có kết quả: Z∗ X f dµ = αn · f (xn ) E n P Như vậy f là µ − khả tích khi và chỉ khi αn · |f (xn )| < ∞, tức là họ này khả n Z∗ ∞ X tổng. Trường hợp riêng f dµd = f (n). f là µ − khả tích khi và chỉ khi chuỗi n=1 N {f (n)} hội tụ tuyệt đối.Độ đo Borel và Lebesgue trên R: Đối với các độ đo này, ta sẽ thấy sau này một lớp quan trọng các hàm mà tích phân định nghĩa ở đây chính là tích phân Riemann. Tương tự đối với độ đo Borel-Stiltjes trên R với tích phân Riemann -Stieltjes.5.1.3 Hệ quả Suy từ các tính chất của f + và f − : R 1. Nếu f là một hàm giá trị thực (chứ không dương) thì ánh xạ υ : A 7−→ υ(A) = f dµ A không còn là một độ đo dương nữa (mà có dấu). Nhưng nó vẫn luôn là một hàm tập σ − cộng tính, tức là: Z ∞ Z X f dµ = f dµ, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j. ∞ i=1 A ∪ Ai i 1 2. Mọi hàm f µ − khả tích là hữu hạn µ − hkn. 3. Nếu f = g µ − hkn và nếu f là µ − khả tích thì g µ − khả tích và ta có: L(f ) = L(g).5.1 Định nghĩa và tính chất 61Định lý 5.1. (i) Không gian của các hàm thực µ−khả tích là một R−không gian tuyến tính R và ánh xạ L : f 7−→ L(f ) = f dµ là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian E này. (ii) Nếu f là đo ...