Giáo trình Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III): Phần 1

Giáo trình "Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III)" nhằm mục đích trình bày một số vẩn đề về tôpô đại cương và sau đó là lý thuyết về độ đo và tích phân Lebesgue. Phần 1 gồm nội dung 2 chương đầu. Mời bạn đọc tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III): Phần 1 ĐẠI H Ọ C VINH THƯ VIỆN . NGUYỀN VĂN KHUÊ (Chủ biên) PTS. BÙI ĐẮC TẮC 514.071 NG-K/96 DT. 003835 KHÓM * • Ly thuyết Tích ph ĐẠI H Ọ C QUỐC G I A HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM GS. TS NGUYỄN VÃN KHUÊ (chủ biên) PTS BÙI ĐẮC TẮC KHÔNG GIAN TÔPÔ - ĐỘ ĐO VÀ LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH I U ĐẠI HỌC Q U Ố C GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM LÒI M Ỏ ĐAU \ Tiếp theo hai tập giải tích ì và li vè phép tính vi tích phân cổ điển, giáo trình này nhàm mục đích trình bày một số uẩn đè vè tôpô đại cương và sau đó là lý thuyết về độ do và tích phân Lebesgue. Lý thuyết độ đo được trình bày trong mối liên hệ vói cáu trúc tôpô và vì vậy đây không hằn là lý thuyết độ đo thuần túy. Điêu này có thề thấy qua định lý quan trọng cớa Alexandrov về tính khả cộng đếm, dược cớa hàm tập hợp chính quy khả cộng hữu hận trên õ - đại số các tập Borel cớa một không gian compac- - Giáo trình gồm 6 chương. Các lớp không gian quan trọng trong giải tích như không gian chuẩn tác, không gian •compac, không gian paracompac dược trình bày trỏng 3 chương đầu. Phần còn lại dành cho việc trinh bày lý thuyết độ đo và tích phân hiện đại. Giáo trình này được dùng cho sinh viên năm thứ ba khoa toán các trường Đại học sư phạm và được viết bời PTS Bùi Đác Tắc với sự sáp xếp chinh lý bới GSTS. Nguyền Văn Khuê. Nội dung cuốn sách có lẽ không phải chỉ cho sinh viên năm thứ ba khoa toán các trường ĐHSP mà nó sẽ còn rát có ích đối VÓI sinh viên năm cuối đặc biệt là các cao học viên chuyên ngành giải tích. Ngoài ra các NCS chuyển ngành giải tích có thè tim tháy à đáy những kiến thức cần thiết cho sụ học tập nghiên cứu cùa minh. Vi dậy là lần đầu xuất bản nên không thế tránh khỏi một số sai lăm thiếu xót rất mong bạn đọc góp ý. Nhăn dây chớ biên và tác giả cảm ơn GS. TS Phạm Ngọc Thao cùng PGS. TS Đặng Hùng Thảng và PTS Lé Mậu Hải vè những ý kiến cho sụ cải tiến cuốn sách này. Chủ biên GS. T S . Nguyên Văn Khuê Tác giả P T S . Bui Đác Tác 3 CHƯƠNG I KHÔNG GIAN M E T R I C T r o n g g i ả i t í c h ì v à l i c h ú n g t a đ ã đ ề cập đ ế n m ộ t l ớ p k h ô n g g i á p t ô p ô q u a n t r ọ n g , đ ó l à k h ô n g gian m e t r i c . T u y nhiên trong khuôn khổ giáo t r ì n h g i à n h cho sinh viên những n ă m đ ẩ u m ớ i l à m quen với g i ả i tích hiện đ ạ i c ù n g m ộ t lúc c h ư a t h ể g i ớ i t h i ệ u h ế t n h ữ n g v ấ n đ è liên q u a n đ ế n k h ô n g gian m e t r i c . Trong c h ư ơ n g n à y c h ú n g tôi t i ế p tục t r ì n h b à y m ộ t số vấn để x u n g quanh k h ô n g gian metric đủ, không gian m e t r i c compac, k h ô n g g i a n m e t r i c k h ả l i . T r ư ớ c h ế t c h ú n g t a n h ớ l ạ i r ằ n g k h ô n g gian m e t r i c , đ ó là t ậ p X c ù n g v ớ i m ộ t k h o ả n g c á c h p t r ê n n ó , tịc là c ù n g v ớ i m ộ t h à m t h ự c p t r ê n X X X t h ỏ a m ã n ba t í n h c h ấ t sau: Mị . />(x, y) ĩzO, Vx, y eX v à />(x, y) = 0 « X = y (tính xác định d ư ơ n g ) M . f i x , y ) = f ( y , x ) , Vx, y 2 G X (tỉnh đối xịng) M , f ( x , z) 2 í p(y, x) + /Hy, z), Vx, y, z G X (bất đẳng thịc tam giác). Một dãy { x } t r o n g X được n g ọ i là d ã y Côsi nếu y ° ( x , x ) —» 0 k h i m, n — » 0 0 . K h ô n g gian m e t r i c X g ọ i là đ ủ n m (hay đ ầ y đ ủ ) n ế u m ọ i d ã y C ô s i t r o n g n ó đ ể u h ộ i t ụ . 5 §1. M Ộ T S Ố VÍ D Ụ VÈ KHÔNG G I A N M E T R I C Đ Ủ THƯỜNG G Ặ P Ví dụ Ì. Không gian metric (X, p) với 0 nếux=y p (x,y) = a nếux5*y (a > 0 cố định) là đủ T h ậ t vậy, cho { x } là m ó t dãy Côsi trong (X, p). N ế u n chọn 0 < € < a, phải có số nguyên dương n sao cho ...