Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm, đạo hàm cấp cao, vi phân, quy tắc L’Hospital, công thức Taylor - Maclaurint. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm Bài toán mở đầu 1: Xét đường cong y=f(x). Một điểm P cố định trên đường cong và cát tuyến PQ. Cho điểm Q chạy trên đường cong tới điểm P. Nếu cát tuyến PQ dần đến vị trí giới hạn Pt thì đường thẳng Pt được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại P Bài toán đặt ra là khi nào hàm có tiếp tuyến tại P và hệ số t góc là bao nhiêu? Q P Đạo hàm Bài toán mở đầu 2: Xét một vật chuyển động trên đường thẳng. Tại thời điểm t0 nó ở vị trí M0 với hoành độ s0 = s(t0) Tại thời điểm t1 nó ở vị trí M1 với hoành độ s1 = s(t1) Nếu vật chuyển động M0 M1 đều thì ta có ngay vận tốc của vật. t0 t1 Nếu vật chuyển động không đều thì ta chỉ tính được quãng đường Δs = s1 – s0 trong khoảng thời gian Δt = t1 – t0. Từ đó, ta có vận tốc trung bình là tỉ số Δs/ Δt. Khoảng thời gian Δt càng nhỏ thì vận tốc đó càng gần vận tốc thật Đạo hàm Cả hai bài toán trên đều dẫn ta đến việc tính giới hạn của tỉ số Δf/ Δx khi Δx→0. Tức là dẫn đến việc lập hàm f(x) và tính đạo hàm của nó Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định trong lân cận của x0, đạo hàm tại x0 của hàm f(x) là f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ( x0 ) = lim = lim x x0 x − x0 ∆x 0 ∆x Nếu giới hạn trên là hữu hạn Các quy tắc tính đạo hàm ( f + g) = f + g �f � f g − g f �g �= ( f .g ) = f g + g f � � g 2 Đạo hàm Bảng đạo hàm các hàm cơ bản 1/ a( ) = a ln a ( e ) x x x =e x 9 / ( arccos x ) = −1 2 − 2 / ( x ) = a.x a a −1 1 x 1 1 1 10 / ( arctan x ) = 3 / ( log a x ) = ( ln x ) = 1 + x2 x ln a x −1 4 / ( sin x ) = cos x 11 / ( arccot x ) = 1 + x2 5 / ( cos x ) = − sin x 12 / ( shx ) = chx 1 6 / ( tan x ) = 2 = 1 + tan 2 x 13 / ( chx ) = shx cos x 1 1 14 / ( thx ) = 2 7 / ( cot x ) = − 2 = −(1 + cot x) 2 ch x sin x 1 1 15 / ( cthx ) = − 2 8 / ( arcsin x ) = sh x 1 − x2 Đạo hàm Đạo hàm 1 phía: f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) Đạo hàm trái: f − ( x0 ) = lim − ∆x 0 ∆x f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) Đạo hàm phải: f + ( x0 ) = lim + ∆x 0 ∆x Định lý: Hàm f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái, đạo hàm phải tại x0 và 2 đạo hàm đó bằng nhau f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) Đạo hàm vô cùng: Nếu lim = ∆x 0 ∆x Thì ta nói hàm f có đạo hàm ở vô cực Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm f ( x) = 3 x − 1 Áp dụng các quy tắc và bảng đạo hàm ta có 1 f ( x) = 3 3 ( x − 1) 2 Như vậy, tại x=1 không thể thay x=1 vào f ’ để tính mà phải dùng định nghĩa f (∆x + 1) − f (1) 3 ∆x f (1) = lim = lim =+ ∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆x Vậy: 1 ,x 1 f ( x) = 3 3 ( x − 1) 2 ,x =1 Đạo hàm sin x ,x 0 Ví dụ: Tính đạo hàm của f ( x) = x 1, x = 0 Khi x≠0, ta tính bình thường. Khi x=0, ta dùng đ/n f (∆x + 0) − f (0) 1 �sin ∆x � f (0) = lim = lim � − 1�= 0 ∆x 0 ...