Bài giảng Giải tích 1: Chương 4 - TS. Đặng Văn Vinh

Bài giảng "Giải tích 1: Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, các dạng phương trình vi phân, phương trình vi phân tách biến, phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Chương 4 - TS. Đặng Văn VinhTrường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1. • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa. II – Các dạng phương trình vi phân: 1 – Phương trình vi phân tách biến 2 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 3 – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 4 – Phương trình vi phân toàn phần 5 – Phương trình Bernoulli I. Các khái niệm cơ bảnCho mạch điện như hình bên.Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) voltĐiện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry)Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampeTheo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t đượctính bởi công thức: dI (t )L  RI (t )  E (t ) dtPtrình vi phân cấp 1. I. Các khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩaPhương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặcmột vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọilà phương trình vi phân thường (Differential Equation)Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE). I. Các khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩaCấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phângọi là cấp của phương trình vi phân. y y ( x)  3  x sin x phương trình vi phân cấp 2 x d3y d2y 2x 3 3 e phương trình vi phân cấp 3. dx dx 2 2 u u 2  1 phương trình đạo hàm riêng cấp 2 x xy I. Các khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩaDạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n (n) F ( x, y, y ,..., y )  0 (1) Ví dụ: 2 y 3 (3 y x  e ) y  ( y  2 x)  0Nếu giải ra được y ( n ) : y ( n )   ( x, y, y ,..., y ( n1) ) Ví dụ:    x 2  xy dy  2 x 2  y 2 dx  2 2 dy 2 x  y Giải ra được: y   2 dx x  xy I. Các khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩaNghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm y   ( x) xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được đồng nhất thức.Đồ thị của nghiệm y   ( x) gọi là đường cong tích phân 1 Ví dụ: Phương trình vi phân y  y  0 có nghiệm là x y  Cx, C  R vì thỏa phương trình vi phân đã cho. I. Các khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩaDạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 F ( x, y , y )  0 (2) Nếu giải ra được y : y   ( x, y ) (3) Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1: y  y  xe x dạng (3) ( y 2  x 2 )dy  ( xy  y 2 )dx  0 dạng (3) 2 y  xy  1  y   phương trình Clairaut, dạng (2) I. Các khái niệm cơ bản ài toán CauchyBài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phươngrình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên) y ( x0 )  y0 (4) ghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong ch phân phụ thuộc hằng số C.Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phânđi qua điểm cho trước ( x0 , y0 ) I. Các khái niệm cơ bản 3Ví dụ: Phương trình vi phân y  y  0 xnghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân: 3 y  Cx , C  R 3 Xét bài toán Cauchy y  y  0, y (1)  3 xTa có 3  C 13  C  3Nghiệm của bài toán Cauchy y  3 x3 I. Các khái niệm cơ bảnường cong tích phân trong vài trường hợp y  2 x3 y  3x3Nghiệm của bài toán y   x3Cauchy là đườngcong màu đỏ.Đường cong quađiểm (1,3). 3 yx I. Các khái niệm cơ bản ịnh lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy) 2Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở D  R , thìvới mọi điểm  x0 , y0   D , bài toán Côsi (3) với điều kiện (4) có nghiệm xác định trong lâ ...