Bài giảng Giải tích 1: Hàm số liên tục

Bài giảng "Giải tích 1: Hàm số liên tục" cung cấp cho người học các kiến thức: Phân loại điểm gián đoạn, các ví dụ, hàm số liên tục trên [a, b]. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Hàm số liên tục HÀM SỐ LIÊN TỤChttp://e-learning.hcmut.edu.vn/ Định nghĩa1. Cho hàm f(x) xác định tại xo, f liên tục tại xo nếu lim f ( x ) = f ( x0 ) x x0(đồ thị của hàm số y = f(x) không bị ngắt tại xo.) Ngược lại, f được gọi là gián đoạn tại xo.2. f liên tục phải tại xo nếu: lim f ( x ) = f ( x0 ) x x0+3. f liên tục trái tại xo nếu: lim f ( x ) = f ( x0 ) x x0− f liên tục tại xo f liên tục phải và trái tại xo. Ví dụ sin x sin x , x 0, lim f ( x ) = lim =11 / f (x) = x x 0 x 0 x 1, x = 0. f liên tục tại xo = 0. sin x ,x 0, 2 / f (x) = x 1, x = 0. sin x lim f ( x ) = lim = 1 x 0 x 0 x f liên tục phải nhưng không liên tục trái tại x = 0 1 , x < 1, x3 / f ( x ) = 0 , x = 1, 2 x − 1 , x < 1. 1 lim+ f ( x ) = lim+ =1 = lim− (2 x − 1) = lim− f ( x ) x 1 x 1 x x 1 x 1 lim f ( x ) = 1 f (1) f không liên tục tại x = 1 x 1Nhận xét: nếu đặt lại f(1) = 1, khi đó f liên tục tại 1 Phân loại điểm gián đoạnLoại 1: Tồn tại hữu hạn: + − f ( x0 ) = lim f ( x ), f ( x0 ) = lim f ( x ) x x0+ x x0− * f ( x0+ ) = f ( x0− ) f ( x0 ) : Điểm gián đoạn khử được. * f ( x0+ ) f ( x0− ) : Điểm gián đoạn không khử được. h=f ( x0+ ) − f ( x0− ) : Bước nhảy của f tại x0.Loại 2: các trường hợp gián đoạn khác. y=f(x)y=g(x) 1. f gđoạn tại x = -2 (loại khử được) 2. g liên tục tại x = -2 3. g gđoạn tại x= 1 (loại không khử được) Tính chất hàm liên tục1. Tổng, hiệu, tích , thương (mẫu số khác 0 tại x0) các hàm liên tục là liên tục.2. Nếu f(u) liên tục tại u0, u(x) liên tục tại x0 và u(x0) = u0 thì f(u(x)) liên tục tại x03. Các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định. Ví dụPhân loại điểm gián đoạn tại các điểm đượcchỉ ra, x −1 −1 e x 1 / f (x) = x = 0, x = 1 x −1 x 2 / f (x) = x=0 �1� arctan � � �x � Hàm số liên tục trên [a, b]1. Hàm số f liên tục trên [a, b] f liên tục tại mọi x nằm trong (a, b), f liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. 2. * f liên tục trên [a, b] thì f bị chận trên [a, b] * f liên tục trên [a, b] thì f đạt gtln và gtnn trên [a, b]3. f liên tục trên [a, b], gọi m và M lần lượt là gtnn và gtln của f trên [a, b], ta có∀k �[m, M ], ∃x0 �[a, b] : f ( x0 ) = k Hệ quả: nếu f liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong (a,b). VD: Xét phương trình x.2x – 1 = 0 trong (0, 1)