Bài giảng Giải tích 1: Tích phân bất định

Bài giảng "Giải tích 1: Tích phân bất định" trình bày các nội dung: Bảng công thức nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân, một số lưu ý khi dùng tích phân từng phần, tích phân các phân thức cơ bản, định lý phân tích,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Tích phân bất định TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ĐỊNH NGHĨA F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) F’(x) = f(x) f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM dx dx 1 x 1 / � 2 = arctan x + C                  2 / �2 2 = arctan + C 1+ x a +x a a dx dx x 3/ � = arcsin x + C               4 / � = arcsin + C 1− x 2 2 a −x 2 a dx 5/ = ln x + x 2 + k + C x2 + k 2 2 2 x 2 2 a x 6 / a − x dx = a − x + arcsin + C 2 2 a 2 x 2 k 7 / x + kdx = x + k + ln x + x 2 + k + C 2 2 BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 8 / chx  dx = shx + C 9 / shx  dx = chx + C dx 10 / 2 = thx + C ch x dx 11 / 2 = −cothx + C sh x dx x 12 / = ln tan + C sin x 2 dx � x π� 13 / = ln tan � + �+ C cos x �2 4 � Ví dụ dx x 2 = arcsin + C 4−x 2 dx 1 x 2 = arctan + C x +4 2 2 x x x 1 x 3 e dx = (3e ) dx = (3e ) + C ln 3 + 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Đổi biến: Đổi biến 1: x = u(t) dx = u’(t) dt f(x) dx = f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t u’(x) dx = dt f(u(x))u’(x) dx = f(t) dt 2. Tích phân từng phần: u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) ­ u’(x)v(x) dx Ví dụ 2 x3 1 x3 3 1 x3 x e dx = e d(x ) = e +C 3 3 x arctan 1 x � x� 2 dx = arctan d � arctan � 2 2 2 � 2� 4+x Một số lưu ý khi dùng tp từng phần Pn ( x ) là đa thức bậc n. Pn .ln(α x )dx Pn .arctan xdx dv = Pndx, u là phần còn lại Pn .arcsin xdx αx Pn .e dx u = Pn ( x ), dv là phần còn lại Pn .sin xdx Ví dụ dx u = arcsin x � du = I = arcsin xdx 2 1− x dv = dx ,   chon   v = x & 2 xdx 1 d (1 − x ) I = x arcsin x − = x arcsin x + 1− x2 2 2 1− x2 1 = x arcsin x + 1 − x 2 + C 2 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản dx ( Ax + B )dx � ( x − a) m �2 , x + px + q Trong đó: * m là các số tự nhiên, * Các tam thức bậc 2 có = p2 ­ 4q< 0 Tích phân các phân thức cơ bản dx = ln x − a + C x −a dx 1 1 = m −1 + C (m > 1) ( x − a) m 1 − m ( x − a) Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B )dx Đạo hàm của MS (lấy hết Ax) 2 x + px + q A 2x + p � Ap � dx = 2 dx + �B − � 2 2 x + px + q � 2 � x + px + q 2x + p du 2 dx = = ln u + C x + px + q u Tích phân các phân thức cơ bản dx dx 2 = 2 x + px + q �x + p �+ q − p 2 � � � 2� 4 dv 1 v = 2 2 = arctan + C v +a a a Ví dụ x- 1 ￲ dx 2 x - x +1 1 2x - 1 �1 � dx = ￲ dx + ￲￲ - 1￲￲￲ ￲ 2 x2 - x +1 �2 � x2 - x + 1 1 2 1 dx = ln( x - x + 1) - ￲ 2 2 2 � 1� 3 ￲￲ x - ￲￲ + � 2� ￲ 4 1 1 1 2 x - 2 = ln( x - x + 1) - . arctan2. 2 +C 2 2 3 3 Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B)dx A (2 x + p)dx Ap dx � 2 n = �2 n ...