Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Trần Ngọc Diễm (Phần 3)

Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến" cung cấp cho người học các kiến thức về "Khai triển Taylor". Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học ngành Toán học và những ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Trần Ngọc Diễm (Phần 3)ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 3 (khai triển Taylor) KHAI TRIỂN TAYLOR Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận (x0, y0), khi đó trong lân cận này ta có: n k d f ( x0 , y 0 ) f ( x , y )  f ( x0 , y 0 )    Rn k 1 k! Cụ thể: n k 1   f (x, y )  f (x0 , y0 )    x  y  f (x0, y0 )  Rn k 1 k ! x y  1 n1Rn  d (x0  x, y0  y ) Phần dư Lagrange (n  1)!Có thể thay Rn bởi o(n) (Peano) (là VCB bậc caohơn n khi  0), 2 2 n   x  y , o (  )Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin 1. Thông thường chỉ sử dụng pd Peano. 2. Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm 1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến. 3. Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo lũy thừa của x = (x – x0), y = (y – y0) Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xyfx  yx y 1 , fy  x y ln x  df (1,1)  x  0.y y 2 y 1 y 1   y ( y  1) xfxx ,  fxy  x  yx ln x , y 2   x ln xfyy 2 2 2 d f (1,1)  0.x  2.x y  0.y df (1,1)  x  0.y 2 2 2 d f (1,1)  0.x  2.x y  0.y 2 df (1,1) d f (1,1)z  f ( x , y )  f (1,1)    o(  2 ) 1! 2! x 2x yz  1   o( 2 ) 1! 2! 2  1  ( x  1)  ( x  1)( y  1)  o (  ) Ví dụ 2/ Viết kt Maclaurin đến cấp 2 cho 1 z  f (x, y )  1  x  y  xyĐặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 1 2 2z  1  u  u  o (u ) 1 u 2 2  1  ( x  y  xy )  ( x  y  xy )  o (u )  1  x  y  x 2  3xy  y 2  o (  2 ) Ví dụ3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho x 2  xy z  f (x, y )  eĐặt X = x, Y = y – 1, X  X 2  XY ze 2  1  X  X  XY 2 2 2 3 ( X  X  XY ) ( X  X  XY ) 3    o(  ) 2 6 2 z  1  X  X  XY 2 2 2 3 ( X  X  XY ) ( X  X  XY ) 3    o(  ) 2 6 3 2 7 3 2 3  1  X  X  XY  X  X Y  o (  ) 2 6 3 2 7 3 2 3z  1  x  x  x ( y  1)  x  x ( y  1)  o (  ) 2 6 Ví dụ4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho z  f ( x , y )  x sin( y  2). Suy ra f”xy(1, 2) Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành  3 Y 3 z  ( X  1)sin Y  ( X  1)  Y   o (Y )   6  3 Y  Y  XY   o(  3 ) 6 3 (y  2) 3  (y  2)  (x 1)(y  2)   o( ) 6 3 (y  2) 3 f (x, y)  (y  2)  (x 1)(y  2)   o( ) 6 2 d f (1, 2)  ( x  1)( y  2)  x y  dxdy 2! 2 2  (1,2)x  2fxy fxx  (1,2)xy  fyy  (1,2)y  xy 2  f”xy(1, 2) = 1