Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.1 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.1 trình bày về tích phân kép – định nghĩa và cách tính bao gồm công thức đổi biến sang tọa độ cực và các bài tập áp dụng. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.1 - Nguyễn Thị Xuân Anh §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tínhVí dụ : Tính tích phân I = � � x + y )dxdy trong đó cos( DD là miền giới hạn bởi : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2Miền D được chia thành 4 phần D3 −π −π ,−π x y π (D1) 2 4 2 2 −π x π ,−π y − π (D 2) D4 4 4 2 4 D1 −π x π ,π y π (D3) 4 4 4 2 D2 π x π ,−π y π (D 4) 4 2 2 2 −π π −π π 4 2 4 I1 = �dx �cos( x + y )dy = �sin( x + y ) π dx 2 − −π −π −π 2 2 2 2 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính −π 4 I1 = (cos x − ( − cos x ))dx = 0 −π 2Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền cònlại.Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tíchphân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hìnhvuông nhỏ π π π π 2 2 4 4I = �dx �cos( x + y )dy − �dx �cos( x + y )dy −π −π −π −π 2 2 4 4§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tínhVí dụ: Tính tích phân kép I = �y − x 2 dxdy � DD là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 I = �( xy ) dxdy = � y − x 2 dxdy + � y − x 2 dxdy � � � D D1 D2 D1 � D1 ( � ) = � y − x 2 dxdy + � x 2 − y dxdy D2 ( ) x2 ( ) ( ) 1 1 1 D2 D2 = �dx � y − x 2 dy + �dx � x 2 − y dy −1 x2 −1 0 11 I = 15 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính x Ví dụ: Tính tích phân I = � y dxdy �e D Với D là miền giới hạn bởi x = y 2, x = 0, y = 1Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tíchphân này thì ta chiếu D xuốngtrục nào cũng như nhau. 1 Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích phân sẽ buộc ta phải chiếu D xuống trục Oy 1 1 y2 x 1 x 2 1 I = � � dx dy e = �ye y )0 dy = �ye y − y )dy ( y y ( 0 0 0 0 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính 2 yVí dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau I = � � f ( x, y )dx dy 0 y 2 −2Ta vẽ miền lấy tích phân ￬0 y 2 2 D: ￬￬ 2 ￬y - 2￬ x ￬ y ￬ D2 Chiếu miền D vừa vẽ xuống D1 trục Ox -2 2 Ta thấy phải chia D thành 2 phần D1 và D2 0 x +2 2 x +2 I = � � f ( x, y )dy + � � f ( x, y )dy dx dx −2 0 0 x §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcNhắc lại về tọa độ cựcĐiểm M có tọa độ là (x,y) trong M(x,y)tọa độ Descartes. r ϕ = g (Ox,OM ) φĐặt : r = OM Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là ￬ r = x2 + y 2 ￬ x = r cos ϕ ￬ ￬ ￬ ￬ y = r sin ϕ ￬ j = arctan y ￬ ￬ ￬ x §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực1. (x-a)2 + y2 = a2 ↔ x2 + y2 = 2ax ↔ r = 2acosφ x2 y 2 Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng2. 2 + 2 = 1 a b cách đặt :x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ Thì ta được pt r = 1 3 3. x = 3 ↔ rcosφ = 3 ↔ r= cos j §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Công thức đổi biến sang tọa độ cực � f ( x, y )dxdy = � J f (r cos ϕ , r sin ϕ )drdϕ � � Trong đó D( x,y ) D( r ,ϕ ) D( x, y ) xr xϕ J= = =r D(r,ϕ ) y r yϕThông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cựcnếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặcellipse §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I = �x − 2y )dxdy �( D Trong đó D giới hạn bởi : x 2 + y 2 = 2 x, y = 0( y 0)Để xác định cận của tí ...