Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.2 trình bày tích phân bội ba – định nghĩa và cách tính bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính và các ví dụ cụ thể giải thích các nội dung trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 ,..., Ωn có thể tích tương ứng là ∆V1, ∆V2 ,..., ∆Vn Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk) n Lập tổng tích phân Sn = f ( xk , y k , zk )∆Vk k =1 Cho max d (Ωk ) 0 nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn , S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính n Vậy: �f ( x, y , z )dV = �� lim f ( xk , y k , zk )∆ Vk Ω max d ( Ω k ) 0 k =1 Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu : �f ( x, y , z )dV = �f ( x, y , z )dxdydz �� �� Ω Ω §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω 1. �dxdydz = V (Ω ) �� Ω 2. � C.f ( x, y , z )dxdydz = C � f ( x, y , z )dxdydz �� �� Ω Ω 3. � (f ( x, y , z ) + g ( x, y , z ))dxdydz = � f ( x, y , z )dxdydz + � g ( x, y , z )dxdydz �� �� �� Ω Ω Ω 4. Nếu g ≥ f trên Ω thì � f ( x, y , z )dxdydz � g ( x, y , z )dxdydz �� �� Ω Ω Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 5. �f ( x, y , z )dxdydz = �f ( x, y , z )dxdydz + �f ( x, y , z )dxdydz �� �� �� Ω Ω1 Ω2 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính 6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho : �f ( x, y , z )dxdydz = f ( x0 , y 0 , z0 )V ( Ω ) �� Ω Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng 1 �f ( x, y , z )dxdydz �� V (Ω ) Ω §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Cách tính Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì ϕ �( x,y ) � �f ( x, y , z )dxdydz = � � f ( x, y , z )dz � �� �� dxdy Ω D �( x ,y ) ψ � ϕ ( x ,y ) Ta còn viết tích phân trên ở dạng � �dxdy � f ( x, y , z )dz D ψ ( x ,y ) Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 1 : Tính tích phân I1 = �2zdxdydz �� Ω Trong đó Ω giới hạn bởi 0 x,0 y, x 2 + y 2 z 4 Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên 4 2 4 I1 = � �dxdy � 2zdz = � z )x 2 + y 2 dxdy �( D x2 + y 2 D π 2 2 2 2 2 = �(16 − ( x + y ) )dxdy = � ϕ �(16 − r 4 )dr � d r D 0 0 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính y=0 z=4 z=x2+y2 D x=0 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 2 : Tính tích phân I2 = �( x + y )dxdydz �� Ω Trong đó Ω giới hạn bởi y=x2, y+z=1, z=0 Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên đường parabol y=x2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 1 tức là 0 ≤ 1 - y ...