Bài giảng Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường (Phần 1)

Phần 1 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường" cung cấp cho người học các kiến thức về "Tham số hóa đường cong" bao gồm: Đường cong trong mặt phẳng, đường cong trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường (Phần 1)CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG§1: THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG§2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1§3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 §1: Tham số hóa đường cong1. Đường cong trong mặt phẳng: thường được chobằng 2 cách x x (t )a. Cho bởi pt tham số y y (t ) b. Cho bởi pt y=y(x): Ta thường đặt x=t thì pt tham số sẽ là x t y f (t ) Trường hợp đặc biệt: Có 2 trường hợpa. Viết phương trình tham số của đường tròn(x-a)2+(y-b)2=R2 ta sẽ đặt x a R cos t y b R sin t §1: Tham số hóa đường congb. Viết phương trình tham số của đường ellipse x2 y2 1 a2 b2 x a cos t Ta sẽ đặt : y b sin t2. Đường cong trong không gian: thường được chobằng 2 cácha. Được cho sẵn bởi phương trình tham số x x (t ) y y (t ) z z( t ) §1: Tham số hóa đường cong f ( x, y , z ) 0b. Cho là giao tuyến của 2 mặt cong: g ( x, y , z ) 0Khi đó, thông thường ta sẽ đặt 1 trong 3 biến bằngt, thay vào 2 phương trình trên để được hpt với 2 ptvà 2 ẩn là 2 biến còn lại. Giải hpt đó theo tham số t,ta sẽ ra 2 biến còn lại cũng tính theo t §1: Tham số hóa đường congVí dụ 1: Viết phương trình tham số đường cong C làgiao tuyến của x2+y2=z2 và ax=y2 (z≥0) 1 2Ta đặt y=t thì x 2 y 2 z2 x t a 2 ax y y t z 0 1 2 2 z t (t a2 ) aVí dụ 2: Viết phương trình tham số đường cong C làgiao tuyến của x2=y và x=z (x≥0)Ta đặt x=t thì x t y x2 y t2 x z z t §1: Tham số hóa đường congTuy nhiên, trong một số trường hợp thông thườnghay gặp, ta sẽ có cách tham số hóa từng đườngcong cụ thể tùy vào những điểm đặc biệt của chúngVí dụ 3: Viết pt tham số của 2 đường cong C1, C2 làgiao tuyến của x2+y2+z2=2, z2=x2+y2Ta có: x2 y2 z2 2 x2 y2 1 z2 x2 y2 z 1Tức là C1, C2 vừa là giao tuyến của mặt cầu và mặtnón vừa là giao tuyến của mặt trụ với 2 mặt phẳng.Nói cách khác: C1, C2 là 2 đường tròn đơn vị nằmtrên 2 mp đối xứng nhau qua mp z=0. §1: Tham số hóa đường congKhi đó, ta đặt x=cost thì suy ra y=sint. Vậy pt tham sốcủa C là x cos t y sin t z 1 §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=yThay x=y vào phương trình mặt cầuTa được: 2x2+z2=a2 , là pt của đường ellipse. Tức làhình chiếu của C trên mp y=0 là đường ellipse2x2+z2=a2Đặt 2x2=a2cos2t thì suy ra z2=a2sin2t.Vậy ta được: 2 2 2 2 2 2 2 a x y z a 2x z a x y cos t 2 x y x y z a sin t §1: Tham số hóa đường congVí dụ 5: Viết phương trình tham số của đường congC: x2+y2+z2=4 và x2+y2=2x lấy phần ứng với z dươngTừ pt mặt trụ : x2+y2=2x ↔ (x-1)2+y2=1Ta đặt x-1=cost, suy ra y=sint và thay vào pt mặt cầu x2 y2 z2 4 x2 y2 2x x 1 cos t y sin t z 4 2(1 cos t ) §1: Tham số hóa đường congĐể vẽ đường cong này bằng MatLab, ta cũng dùng pttham số để vẽKhai báo biến p=linspace(0,2*pi,30)Vẽ đường cong plot3(1+cos(p),sin(p),sqrt(2-2*cos(p)))Vẽ hình chiếu xuống mp z=0: plot(1+cos(p),sin(p))Vẽ thêm 2 mặt congMặt trụ x^2+y^2=2x với z từ 0 đến sqrt(2-2*cos(p))Mặt cầu z=sqrt(2-2*cos(p)) với y từ -sin(p) đến sin(p) §1: Tham số hóa đường congph=meshgrid(p);t=[]for i=1:length(phi) tam=linspace(0,sqrt(2-2*cos(phi(i))),30); t=[t tam]endx=1+cos(ph); y=sin(ph);z=t;surf(x,y,z,FaceColor,m,EdgeColor,w,FaceAlpha,.5) §1: Tham số hóa đường congt=[]for i=1:length(phi) tam=linspace(-sin(phi(i)),sin(phi(i)),30); t=[t tam];endx=1+cos(ph);y=t;z=sqrt(2-2*cos(ph));mesh(x,y,z,FaceColor,r,EdgeColor,w,FaceAlpha,.5) §1: Tham số hóa đường congVí dụ 6: Viết phương trình tham số của đường congC: x2+y2+z2=6z và z=3-xTa viết lại pt mặt cầu : x2+y2+(3-z)2=9Thay 3-z=x vào để được hình chiếu của C trên mpz=0 là đường ellipse 2x2+y2=9Đặt 2x2=9cos2t, thì y2=9sin2tVậy: 3 x cos tx 2 2 y z 2 6z 2 2x y 2 9 ...