Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1)

Phần 1 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa" cung cấp cho người học các kiến thức về "Chuỗi số" bao gồm: Định nghĩa, tính chất, chuỗi không âm, tiêu chuẩn D’alembert, tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi có dấu tùy ý,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1) Chương 5:CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Phần 1: CHUỖI SỐ ĐỊNH NGHĨACho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới Sn  a1  a2    an , n  N {Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu:  an n 1( Nếu {an} bắt đầu từ 0 thì số hạng đầu củaSn là a0 ) • Sn : tổng riêng thứ n • an : số hạng tổng quát ĐỊNH NGHĨA {Sn} có giới hạn hữu hạn khi n     an hội tụ n 1Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ.Đặt:   an  lim Sn : tổng chuỗi n 1 n  VÍ DỤKhảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu có:  11/  n 1 n (n  1) 1 1 1Tổng riêng: Sn     1.2 2.3 n (n  1) 1 1 1 1 1  1      2 2 3 n (n  1) 1 n  1 1 (n  1)  1Vậy chuỗi hội tụ và  1 n 1 n (n  1)  1 1 1 1 Sn  1    2/  n 1 n 2 3 n n   n  n Vậy chuỗi phân kỳ.  n 1 1 1 1 ( 1) n 1 13/  Sn   2  3    (1) n n 2 2 2n 2 n 1 2  1 1    1  2 1   2 1  1  3    2 Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3. TÍNH CHẤT  1/  an và  an có cùng bản chất (ht/pk) n 1 np  2 /   an , 0, và  an có cùng bản chất n 1 n 1 TÍNH CHẤT   3 /  an  A,  bn  B n 1 n 1    ( an   bn )   A   B n 1• Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ• Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ làphân kỳ Điều kiện cần của sự hội tụ  Nếu chuỗi  an hội tụ thì lim an  0 n  n 1Áp dụng:Nếu lim an  0 ( hoặc không tồn tại ) thì n    an không hội tụ.n 1 Ví dụ  n1/  n phân kỳ vì n 1 ( 1) n n n lim an  lim n  1  0 n  n  ( 1) n n  n n  3n  2 2 /  (1)   n 1  2n  1  n  3n  2  n  an      2n  1   0  chuỗi phân kỳ  an  Ví dụ 3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có: n  x n n 1 k 1 2 n Sn   x  x  x    x k 1  1 xn x , x  1   1 x n, khi x  1  khi x = 1: lim Sn   chuỗi pk n  n khi |x| > 1: lim x   hoặc không tồn tại n   lim Sn   hoặc không tồn tại n   chuỗi pk n x khi |x| < 1: lim x  0  lim Sn  n  n  1 x x Chuỗi ht và có tổng là 1 x CHUỖI KHÔNG ÂM.Cho an  0, khi đó dãy tổng riêng phần {Sn} làdãy tăng.Vậy {Sn} hội tụ  {Sn} bị chận trên.Hay:   an hội tụ khi và chỉ khi {Sn} bị chận trên.n 1 Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - CauchyCho f(x) không âm, liên tục, giảm trên [1,+),khi đó    f ( x )dx và  f (n ) có cùng bản chất 1 n 1Chứng n minh:2 3 n  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx     f ( x )dx n 1 n1 1 2 1 fn( x )dx  f (1)  f (2)    f (n  1)  Sn  f (n) 1 f ( x )dx  f (2)    f (n)  Sn  f (1) Ví dụKhảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:  1 11/  2 f (x)  , x  [2, ) ...