Bài giảng Giải tích 2: Chương 7 - TS. Đặng Văn Vinh

Bài giảng Giải tích 2 Chương 7: Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm chuỗi số, chuỗi không âm, chuỗi có dấu tùy ý - Hội tụ tuyệt đối, chuỗi đan dấu - Tiêu chuẩn Leibnitz. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 7 - TS. Đặng Văn VinhTrường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 2 Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa. • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I – Khái niệm chuỗi số.II – Chuỗi không âm.III- Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối.IV- Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn Leibnitz.V- Chuỗi luỹ thừa. Bán kính và miền hội tụ. II. Chuỗi không âmĐịnh nghĩa chuỗi không âm Chuỗi số không âm là chuỗi  an , (n)an  0, n 1Nhận xétVới chuỗi không âm, dãy tổng riêng S n là dãy không giảmVậy chuỗi không âm hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên.Tiêu chuẩn so sánh 1  Hai chuỗi  an ,  bn thoả điều kiện 0  an  bn , n  n0 n 1 n 1  1) Nếu chuỗi  bn hội tụ, thì chuỗi  an hội tụ. n 1 n 1  2) Nếu chuỗi  an phân kỳ, thì chuỗi  an phân kỳ. n 1 n 1 CM Chuỗi  b n hội tụ nên dãy tổng riêng S n bị chặn tr n 1  n n S n   an   bn S n dãy tổng riêng an của n 1 k 0 k 0 bị chặn trên, vậy chuỗi hộiTiêu chuẩn so sánh 2  Hai chuỗi  an (1) ,  bn (2) thoả 0  an  bn , n  n0 n 1 n 1 an K  lim n b n1) K  0 : Nếu chuỗi (2) hội tụ, thì chuỗi (1) hội tụ.2) K hữu hạn,  0 : Chuỗi (1) và (2) cùng HT hoặc cùng P3) K   : Nếu chuỗi (1) HT, thì chuỗi (2) HT.  2  cos nVí dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi    an n 1 n( n  1) n 1 2 cos n 1 1 Chuỗi dương   2 n(n  1) n(n  1) n   1 Chọn chuỗi số  2   bn n 1 n n 1 an lim  1 hữu hạn, khác không. n b n   Suy ra hai chuỗi  an ,  bn cùng tính chất hội tụ. n 1 n 1   1 Vì chuỗi  bn   2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 n 1 n 5  3(1)n  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 3   an n 1 2 n 1 nChuỗi dương 0  5  3(  1) 8 1 n 3  n 3  n 2 2 2  1 1Vì chuỗi  n , |q |  1 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 2 2  n 3 e n Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 3   an n 1 2  ln n n 1 n 3 n n Chuỗi dương e  n e  e  n 3  n   2  ln n 2  2   n  e  e chuỗi    , |q |  1 FK, nên chuỗi đã cho FK. n 1  2  2  ln(1  sin(1/ n) Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  n  ln 2 n   an n 1 n 1 ln(1  sin(1/ n) 1/ n 1Chuỗi dương 2   2 n  ln n ...