Bài giảng Giải tích 2 (ĐH Bách khoa Tp.HCM) - Chương 7 Chuỗi số, chuỗi lũy thừa

Nội dung gồm: Khái niệm chuỗi số. Chuỗi không âm. Chuỗi có dấu tùy ý, hôi tụ tuyệt đối. Chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Leibnitz. Chuỗi lũy thừa, bán kính và miền hội tụ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2 (ĐH Bách khoa Tp.HCM) - Chương 7 Chuỗi số, chuỗi lũy thừaTrường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 2 Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa thừa. • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I – Khái niệm chuỗi số.II – Chuỗi không âm.III- Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối.IV- Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn Leibnitz.V- Chuỗi luỹ thừa. Bán kính và miền hội tụ. II. Chuỗi không âmĐịnh nghĩa chuỗi không âm Chuỗi số không âm là chuỗi  an , (n)an  0, n 1Nhận xétVới chuỗi không âm, dãy tổng riêng S n là dãy không giảmVậy chuỗi không âm hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên.Tiêu chuẩn so sánh 1  Hai chuỗi  an ,  bn thoả điều kiện 0  an  bn , n  n0 n 1 n 1  1) Nếu chuỗi  bn hội tụ, thì chuỗi  an hội tụ. n 1 n 1  2) Nếu chuỗi  an phân kỳ, thì chuỗi  an phân kỳ. n 1 n 1 CM Chuỗi  b n hội tụ nên dãy tổng riêng S n bị chặn tr n 1  n n  S n   an   bn S n dãy tổng  riêng an của n 1 k 0 k 0 bị chặn trên, vậy chuỗi hộiTiêu chuẩn so sánh 2  Hai chuỗi  an (1) ,  bn (2) thoả 0  an  bn , n  n0 n 1 n 1 an K  lim n b n1) K  0 : Nếu chuỗi (2) hội tụ, thì chuỗi (1) hội tụ.2) K hữu hạn,  0 : Chuỗi (1) và (2) cùng HT hoặc cùng P3) K   : Nếu chuỗi (1) HT, thì chuỗi (2) HT.  2  cos nVí dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi    an n 1 n( n  1) n 1 2 cos n 1 1 Chuỗi dương   2 n(n  1) n(n  1) n   1 Chọn chuỗi số  2   bn n 1 n n 1 an lim  1 hữu hạn, khác không. n b n   Suy ra hai chuỗi  an ,  bn cùng tính chất hội tụ. n 1 n 1   1 Vì chuỗi  bn   2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 n 1 n 5  3(1)n  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 3   an n 1 2 n 1Chuỗi dương 0  5  3(1) n 8 1 n 3  n 3  n 2 2 2  1 1Vì chuỗi  n , |q |  1 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 2 2  n 3 e n Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 3   an n 1 2  ln n n 1 n 3 n n Chuỗi dương e n e e n 3  n   2  ln n 2  2   n e e chuỗi    , |q |  1 FK, nên chuỗi đã cho FK. n 1  2  2  ln(1  sin(1/ n) Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  n  ln 2 n   an n 1 n 1 ln(1  sin(1/ n) 1/ n 1Chuỗi dương ...