Bài giảng Giải tích 2: Tích phân đường - Tăng Lâm Tường Vinh

Bài giảng Giải tích 2: Tích phân đường, cung cấp cho người học những kiến thức như Tích phân đường loại I; Tích phân đường loại II; Các ví dụ. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Tích phân đường - Tăng Lâm Tường Vinh Tích phân đường Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tp. Hồ Chí Minh, 05/2020TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 1 / 66Nội dung1 Tích phân đường loại I2 Tích phân đường loại II3 Các ví dụ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 2 / 66 1.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Đặt vấn đề các ví dụ mục bàiDiện tích “hàng phân đường loại một 1.1 Tích rào” f (x, y) ≥ đềCho hàm số z =1.1.1 Đặt vấn0 và đường cong C trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy tính diện tích của“hàng rào” dọc theo đường zC f (x,có chiềuđường congmỗi điểm (x, y) là f (x,Hãy tính diện tích Cho hàm số = và y) 0 và cao tại C trong mặt phẳng tọa độ Oxy. y). của hàng rào dọc theo đường C và có chiều cao tại mỗi điểm (x, y) là f (x, y). TĂNG LÂM TƯỜNG VINH 1.1: Diện tích của hàng rào dọc theo đường C và cóphân đường mỗi điểm (x, y) là f (x, y). Hình Tích chiều cao tại 3 / 66Đặt vấn đề các ví dụ mục bàiCho đường cong trơn C =AB xác định trong mặt phẳng Oxy. Ta sẽ chia cung AB thành những cung nhỏ Ai−1 Aibởi những điểm A0 = A, A1 , . . . , An = B. Độ dài của những cung nhỏ Ai−1 Ai được kí hiệu là ∆ i vàλ = max ∆ i . Ta chọn 1.1 Tích phân đường loại một i (xi , yi ) trên cung Ai−1 Ai . bất kì tương ứng M 3 i Hìnhn Chia cung AB thành những cung nhỏ Ai−1 Ai 1.2:Diện tích của “hàng rào” cần tìm là S ≈ f (xi , yi )∆ i . Đây là tổng Riemann và khi lấy giới hạn tổng này với Diện tích của hàng rào cần tìm là i=1 nλ → 0 ta được tích phân đường loại I. S≈ f (xi , yi ).∆ i i=1 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 4 / 66Tích phân đường loại I các ví dụ mục bàiĐịnh nghĩa 1Nếu f (x, y) là hàm số xác định trên đường cong trơn C =AB thì tích phân đường loại I của f dọc theo C là n f (x, y) d = lim f (xi , yi )∆ i (1) λ→0 AB i=1Chú ý: Theo định nghĩa, tích phân đường loại I không phụ thuộc hướng của đường cong C vì việc chọn hướng của Ckhông ảnh hưởng đển tổng Riemann. f (x, y) d = f (x, y) d (2) AB BA TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 5 / 66Tích phân đường loại I các ví dụ mục bàiĐịnh lý 1Cho hàm số f (x, y) liên tục trên cung AB. Khi đó b 2 2 f (x, y) d = f x(t), y(t) x (t) + y (t) dt (3) AB aChú ý: Khi lấy tích phân theo cung AB chúng ta không quan tâm đến việc điểm A hay B là điểm đầu hay điểm cuốicủa cung, mà chỉ quan tâm đến giá trị của t ∈ [a, b]. Khi đó tích phân sẽ luôn được tính bằng cách lấy cận từ cận nhỏa đến cận lớn b. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 6 / 66Tích phân đường loại I xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 1 Tính I = (2 + x2 y) d với C là nửa đường tròn x2 + y 2 = 1, y ≥ 0. C TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân đường 7 / 66Giải Ví dụ 1 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 1 Tính I = (2 + x2 y) d với C là nửa đường tròn x2 + y 2 = 1, y ≥ 0. C  x = cos t    x (t) = − sin t Đặt y = sin t ⇒ . Khi đó   y (t) = cos t  0≤t≤π π π 2 2 I = (2 + cos t · sin t) (− sin t)2 + (cos t)2 dt = (2 + c ...