Bài giảng Giải tích 2: Tích phân mặt loại 2 - Trần Ngọc Diễm

Bài giảng "Giải tích 2: Tích phân mặt loại 2" cung cấp cho người học các kiến thức: Pháp tuyến của mặt cong, mặt định hướng, định nghĩa tích phân mặt loại 2, tính chất tích phân mặt loại 2, cách tính tích phân mặt loại 2. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Tích phân mặt loại 2 - Trần Ngọc DiễmTÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 PHÁP TUYẾN CỦA MẶT CONG.Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0)  S •L là đường cong trong S đi  qua M. Tiếp tuyến của L tại M n gọi là tiếp tuyến của S tại M. •Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là mặt tiếp diện của S tại M. •Pháp tuyến của mặt tiếp diện tại M gọi là pháp tuyến của S tại M. PHÁP TUYẾN MẶT CONG Giả sử L S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) M = (x(t0), y(t0), z(t0))  L Vt chỉ  phương của tiếp tuyến tại M là : u   x (t0 ), y ( y 0 ), z(t0 )  M S: F(x,y,z) = 0, ta có: Fx (M ) x (t0 )  Fy (M ) y (t0 )  Fz (M ) z(t0 )  0  x (t 0 ), y (t 0 ), z(t 0 )    Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )   x(t0 ), y (t0 ), z(t0 )    Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )  (đúng với mọi đường cong trong S và qua M)  n =   Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )  và các vector tỷ lệ là pháp vector của S tại M Một ký hiệu khác: gradF (M )   Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )  (gradient của F tại M) Một số ví dụ tìm pháp vectora/ Mặt cầu S : x 2  y 2  z 2  R 2  M ( x0 , y 0 , z0 )  S , n (M )    2 x0 ,2 y 0 , 2z0  (và các vector tỷ lệ)  n  n  OM ( x0 , y 0 , z0 ) Một số ví dụ tìm pháp vectora/ Mặt trụ S : x 2  y 2  R 2  M ( x0 , y 0 , z0 )  S , n (M )    2 x0 , 2y 0 ,0  (và các vector tỷ lệ) M  n  O M   (x0 , y 0 ,0) Một số ví dụ tìm pháp vectora/ Mặt nón S : x 2  y 2  z 2  z   x 2  y 2  M ( x0 , y 0 , z0 )  S , n (M )    2 x0 ,2 y 0 , 2z0   n (M ) z0 M ( x0 , y 0 , z0 ) M   ( x0 , y 0 ,0)z0 ( x0 , y 0 , z0 ) MẶT ĐỊNH HƯỚNGS được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếucho pháp vector tại MS di chuyển dọc theo 1đường cong kín không cắt biên, khi quay về điểmxuất phát vẫn không đổi chiều.Ngược lại, pháp vector đảo chiều, thì S được gọilà mặt không định hướng (mặt 1 phía ).Phía của S là phía mà đứng trên đó, pháp vectorhướng từ chân lên đầu. (Chương trình chỉ xét mặt 2 phía)Mặt một phíaMặt hai phíaVí dụ tìm PVT tương ứng với phía mặt conga/ Mặt cầu S : x 2  y 2  z 2  R 2 M ( x0 , y 0 , z0 )  S ,  n  ( x0 , y 0 , z0 )  pháp VT ngoài n   n  ( x0 , y 0 , z0 ) OM ( x0 , y 0 , z0 ) pháp VT trongb/ Mặt trụ S : x 2  y 2  R 2  M ( x0 , y 0 , z0 )  S , n (M )    2 x0 , 2y 0 ,0 PVT trong M  n  ( x0 , y 0 ,0) PVT ngoàic/ Mặt nón M ( x0 , y 0 , z0 )  S , z0 PVT trong  n  ( x0 , y 0 ,  z0 ) PVT ngoài z0 Pháp vector đơn vị z  n    yx  n  (cos  ,cos  ,cos  ) ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt địnhhướng S.Gọi pháp vector đơn vị của S là  n  (cos  ,cos  ,cos  )Tích phân mặt loại 2 của P, Q, R trên S địnhnghĩa bởi S Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   S (P ,Q, R ).ndsS Pdydz  Qdzdx  Rdxdy  S (P cos  Q cos   R cos  )ds VÍ DỤ1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu 2 2 2 z  R  x  y , tính I  S xdydz  ydzdx  zdxdy Tại M (x, y, z) trên S, pháp vector đơn vị là  ( x , y , z) n R  ( x , y , z)I   (P ,Q, R ).nds   ( x , y , z). ds S S R 2 2 2 2 x ...