Bài giảng Giải tích 2: Tích phân mặt loại II - Tăng Lâm Tường Vinh

Bài giảng Giải tích 2: Tích phân mặt loại II, cung cấp cho người học những kiến thức như Tính khối lượng của mặt cong; Cách tính dùng định nghĩa; Tích phân mặt loại II; bài tập về tích phân mặt loại II. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Tích phân mặt loại II - Tăng Lâm Tường Vinh Tích phân mặt loại II Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tp. Hồ Chí Minh, 06/2020TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 1 / 29Nội dung1 Tích phân mặt loại II2 Các ví dụ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 2 / 29Đặt vấn đề các ví dụ mục bàiTính lượng chất lỏng đi qua bề mặt cho trước (thông lượng)Xét bài toán tính thông lượng chất lỏng đi qua bề mặt cho trước S trong một đơn vị thời gian.Giả sử mật độ chất lỏng (khối lượng riêng của chất lỏng) tại mỗiđiểm Mi (x, y, z) trong không gian là ρ(x, y, z) (kg/m3 ),mặt cong S là mặt định hướng với pháp véc-tơ đơn vị n, có khảnăng cho chất lỏng thấm qua, véc-tơ vận tốc v(x, y, z) (m/s)của chất lỏng tại mỗi điểm Mi (x, y, z) trong không gian khôngđổi theo thời gian. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 3 / 29Đặt vấn đề các ví dụ mục bài Khi đó khối lượng của chất lỏng đi qua mặt cong S trên một đơn vị diện tích, theo một đơn vị thời gian là ρ · v kg/(m2 s) = P (Mi ), Q(Mi ), R(Mi ) . Nếu chúng ta chia mặt cong S thành những mặt cong nhỏ Si thì Si gần như là một mặt phẳng. Như vậy, chúng ta có thể tính gần đúng khối lượng chất lỏng đi qua Si theo một đơn vị thời gian là < ρ · v(Mi ), n(Mi ) > ·∆Si Do đó, khối lượng chất lỏng đi qua S theo một đơn vị thời gian được tính gần đúng là n m≈ < ρ · v(Mi ), n(Mi ) > ·∆Si i=1 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 4 / 29Đặt vấn đề các ví dụ mục bàiGiả sử pháp véc-tơ đơn vị của mặt S tại điểm Mi là n(Mi ) = cos α(Mi ), cos β(Mi ), cos γ(Mi )Khi đó n m≈ P (Mi ) cos α(Mi ) + Q(Mi ) cos β(Mi ) + R(Mi ) cos γ(Mi ) · ∆Si i=1Đây là tổng Riemann của tích phân mặt loại II. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 5 / 29Đặt vấn đề các ví dụ mục bàiĐịnh nghĩaCho những hàm P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) xác định trên mặt trơn, định hướng S . Pháp véc-tơ đơn vịcủa mặt S là n = (cos α, cos β, cos γ), với α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi n và các tia Ox, Oy, Oz . Tích tíchphân mặt loại I ¨ I = P cos α + Q cos β + R cos γ dS (1) Sđược gọi là tích phân mặt loại II của P, Q, R trên mặt định hướng S . Tích phân này được ký hiệu là ¨ ¨ I = P dy dz + Q dz dx + R dx dy = (P, Q, R) · n dS (2) S S TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 6 / 29Cách tính dùng định nghĩa các ví dụ mục bài Xác định (P, Q, R). Xác định dấu ± cho véc-tơ đơn vị n. Xác định D = hc S . Tính tích phân. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 7 / 29Tích phân mặt loại II xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 1 ¨ Tính I = (x−y) dy dz+z dx dy, trong đó S là phần mặt phẳng x+y+z = S 1 bị chắn bởi các mặt phẳng tọa độ, lấy phía trên theo hướng trục Oz. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 8 / 29Giải Ví dụ 1 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 1 ¨ Tính I = (x − y)dyz + zdxy, S là phần x + y + z = 1 bị chắn bởi các mặt phẳng tọa độ, phía trên theo Oz. S (P, Q, R) = (x − y, 0, z). 1 1 1 Hướng theo trục Oz : + nên n = + √ ,√ ,√ . 3 3 3 D = hc S : x = 0, y = 0, x ...