BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 (Số tín chỉ: 3)

Tham khảo tài liệu bài giảng giải tích 4 (số tín chỉ: 3), tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 (Số tín chỉ: 3)Trường ĐHQN Khoa Toán BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 (Số tín chỉ: 3) Dành cho sinh viên : Khoa Toán Hệ : Tổng hợp Khóa : 33 Năm học : 2011-2012 Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan 1Chương I: TÍCH PHÂN BỘI $1 TÍCH PHÂN 2-LỚP1.1 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.1.1 Khái niệm về miền đo được: Miền đa giác là miền đo được (có diện tích). Giả sử D là một miền phẳng bịchặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng. Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, S(Q) là diện tích của nó. Gọi Q’ là một miền đa giác chứa D, S(Q’) là diện tích của nó.Giả thiết thêm biên của D và biên của Q, Q’ không có điểm chung. Tập hợp các miền đa giác Q, Q’ là khác rỗng và vô hạn. Do đó tập hợp các giátrị S(Q), S(Q’) là khác rỗng và vô hạn. {S(Q)} bị chặn trên bởi diện tích của một đa giác Q’ nào đó⇒ ∃P+ = sup {S ( Q )} . {S(Q’)} bị chặn dưới bởi diện tích của một đa giác Q nào đó⇒ ∃P− = inf {S ( Q)} . P+ , P− lần lượt gọi là diện tích trên, dưới của D. Ta có ∀Q,Q: S ( Q ) ≤ P+ ≤ P− ≤ S ( Q) .1. Định nghĩa. Nếu P+ = P− = S ( D ) thì D được gọi là miền đo được (có diện tích) vàsố S(D) được gọi là độ đo (diện tích) của D. Từ định nghĩa về miền đo được ta có các kết quả sau:a) D đo được ⇔ ∀ε > 0 bé tùy ý, tồn tại các miền đa giác Q ⊂ D,Q ⊃ D sao cho S ( Q) − S ( Q ) < ε .b) D đo được ⇔ tồn tại hai dãy các miền đa giác {Q n } ,{Qn } ; Q n ⊂ D,Qn ⊃ D, ∀nsao cho limS ( Qn ) = limS ( Q n ) ( = S ( D ) ) . n →∞ n →∞c) D đo được ⇔ tồn tại hai dãy các miền đo được {D n } ,{Dn } ; D n ⊂ D , Dn ⊃ D ,∀n sao cho limS ( Dn ) = limS ( D n ) ( = S ( D ) ) . n →∞ n →∞2. Tính chất của miền đo được. Giả sử D1 ⊂ D,D 2 ⊂ D, D = D1 ∪ D 2 ;D1 , D 2 không có điểm trong chung. NếuD1 , D 2 đo được thì D đo được và S ( D ) = S ( D1 ) + S ( D 2 ) .3. Ví dụ về miền đo được.Định nghĩa. Đường cong (C) được gọi là đường cong có diện tích - không (đườngcong đo được) nếu ∀ε > 0 bé tùy ý , tồn tại miền đa giác Q chứa (C) sao choS(Q ) < ε . 2 Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau: D đo được ⇔ biên ∂D của nó có diện tích – không.Định lý. Nếu đường cong (C) có một trong các dạng dưới đây thì (C) là đường congcó diện tích - không. a) y = f(x), x ∈ [a ;b ] , trong đó f(x) có đạo hàm liên tục trên [a ; b]. b) x = g(y), y ∈ [c;d ] , trong đó g(y) có đạo hàm liên tục trên [c ; d]. c) x = x(t), y = y(t), t ∈ [a ;b ] , trong đó x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a ; b] và thỏa mãn điều kiện x 2 ( t ) + y 2 ( t ) ≠ 0, ∀t ∈ [ a ;b ] .Hệ quả. Nếu biên của D gồm một số hữu hạn các đường có dạng a), b), c) thì D làmiền đo được.4. Tương tự, có thể xây dựng được khái niệm độ đo (thể tích) của miền T ⊂ R 3 dựavào thể tích khối đa diện. Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = z(x,y), ( x, y ) ∈ D trongđó z(x,y) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D thì miền T đođược.1.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.2.1 Giả sử D là miền phẳng, đo được, bị chặn. Ta gọi đường kính của miền D là supremum của các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc D. d ( D ) = sup dist ( M,M) M,M ∈D Định nghĩa. Tập hợp các miền phẳng đo được D1 , D 2 ,...,D n được gọi là một phépphân hoạch π của miền D, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) D = U Di , Di ⊂ D , ∀i = 1,n . n i =1 b) Với ∀i ≠ j, Di và D j không có điểm trong chung.Ta thấy π chia D thành n miền con đôi một không có điểm trong chung.1.2.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp: Cho hàm số f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được D. Thực hiệnmột phép phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có ( )điểm trong chung D1 ,D 2 ,...,D n . Gọi ∆Di là diện tích của mỗi miền con Di i = 1,n ,d ( Di ) là đường kính của Di , d (π ) = max d ( Di ) là đường kính phân hoạch. Trong 1≤ i ≤ nmỗi miền con Di chọn một cách tùy ý điểm N i (ξi ,ηi ) . Lập tổng tích phân: n n σ π = ∑ f ( N i ) ∆Di = ∑ f (ξi ,ηi ) ∆Di . i =1 i =1 Ta thấy σ π phụ thuộc vào π và các điểm chọn N i (ξi ,ηi ) .Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ...