Bài giảng Giải tích các hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số

"Bài giảng Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số" trình bày các kiến thức về tích phân phục thuộc tham số; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; một số tích phân đặc biệt.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích các hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số Chương 5 Tích phân phụ thuộc tham số 5.1. Tích phân phụ thuộc tham số ...................................................................................... 183 5.1.1. Khái niệm ...................................................................................................................... 183 5.1.2. Tính liên tục .................................................................................................................. 184 5.1.3. Tính khả vi .................................................................................................................... 186 5.1.4. Tính khả tích ................................................................................................................. 187 5.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số...................................................................... 188 5.2.1. Khái niệm ...................................................................................................................... 188 5.2.2. Hội tụ đều và các tiêu chuẩn hội tụ đều ........................................................................ 189 5.2.3. Tính liên tục ................................................................................................................ 194 5.2.4. Tính khả vi .................................................................................................................... 196 5.2.5. Tính khả tích ................................................................................................................. 196 5.3. Một số tích phân đặc biệt ............................................................................................ 197 5.3.1. Tích phân Dirichlet ....................................................................................................... 198 5.3.2. Tích phân Euler (loại I) ................................................................................................. 199 5.3.3. Tích phân Euler (loại II)................................................................................................ 2015.1. Tích phân phụ thuộc tham số5.1.1. Khái niệm Giả sử hàm f xác định trên hình chữ nhật [a, b]×[α, β] ⊆ R2 và với mỗi điểmy ∈ [α, β] cố định, f khả tích theo x trên [a,b]. Khi ấy, tích phân: b ∫ f ( x, y )dx (*) alà một hàm số theo biến y. Ta nói tích phân (*) là tích phân phụ thuộc tham số vớitham số y. Ký hiệu b I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx . a184 Giải tích các hàm nhiều biếnLưu ý rằng thay vì y ∈ [α, β] có thể xét y ∈ U ⊆ Rn và khi ấy I ( y ) là một hàm nhiềubiến. Tuy nhiên phần lớn các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với y ∈ Rntương tự như khi y ∈ R, vì vậy trong giáo trình này chúng ta chỉ xét tích phân phụthuộc một tham số. Ngoài ra, vì trong tích phân (*) hai cận a và b cố định nênngười ta còn nói (*) là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân khôngđổi. Nếu như trong (*), b = ψ( y ) và a = ϕ( y ) là những hàm phụ thuộc y, thì ta nóiψ( y) ∫ f ( x, y )dx là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi.ϕ( y )Thí dụ. Tính một số tích phân phụ thuộc tham số sau đây: 11) I ( y ) = ∫ sin( y 2 x)dx là tích phân phụ thuộc tham số y với mọi y ∈ R. Ta có thể 0tính ngay được   0 nÕu y = 0   I ( y) =  1 .  (1 − cos y 2 ) nÕu y ≠ 0   y 2   1 22) I ( y1 , y2 ) = ∫ y1e−( y2 x ) dx là tích phân phụ thuộc tham số y1, y2 và xác định với 0mọi ( y1 , y2 ) ∈ R2. Hàm này không biểu diễn được dưới dạng các hàm sơ cấp.5.1.2. Tính liên tục Chúng ta vẫn dùng ký hiệu I ( y ) cho tích phân phụ thuộc tham số với miềnlấy tích phân thay đổi và giả thiết rằng f xác định trên hìn ...