Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Tích phân phức

Tích phân phức là nội dung chính của "Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng" sẽ tập trung giới thiệu tới các bạn về tích phân đường phức; công thức tích phân Cauchy; công thức tích phân Poisson. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Tích phân phứcToán kỹ thuậtI. Giải tích FourierII. Phép biến đổi LaplaceIII.Hàm phức và ứng dụngHàm phức và ứng dụng 1. Hàm giải tích 2. Tích phân phức 3. Chuỗi hàm phức 4. Lý thuyết thặng dư 5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 6. Phép biến đổi bảo giác2. Tích phân phức a. Tích phân đường phức b. Công thức tích phân Cauchy c. Công thức tích phân Poisson 2. Tích phân phứcTích phân phứcVí dụ: 2 j 2 j 1 2 1   2  j 2 zdz  z 0 2 0 2Nhận xét: Không phải hàm phức nào cũng dễ dàng tìm đượcnguyên hàm => cần tìm phương pháp khác để giải:- Chuyển sang tích phân đường 2 biến x,y.- Dùng các định lý. 2. Tích phân phứca. Tích phân đường phứcĐịnh nghĩa:  f  z  z n  f ( z )dz  C lim zk 0 k 1 k k 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quani.  f ( z )dz   u ( x, y)  jv( x, y) (dx  jdy) C C   u ( x, y )dx  v( x, y )dy   j  v( x, y )dx  u ( x, y )dy  C C Tích phân phức cũng mang các tính chất của tích phân thực (xem tài liệu) Ví dụ: Tính tích phân:  dz 2 z C với C là đoạn AD 1. Hàm giải tích Một số tính chất và định lý liên quan Giải:    I   z 2 dz    x 2  y 2 dx  2 xydy   j   2 xydx  x 2  y 2 dy  C C C 5 5I AB   1  x 2  1 dx  j  2 x dx  36  j 24 1 3 3I BD   10 y dy  j    25  y dy  40  j 2 124 3 1 1 196I  I AB  I BD  4  j 3 1. Hàm giải tíchMột số tính chất và định lý liên quanii. Định lý 3.1: Nếu f(z) liên tục trên C, |f(z)| ≤ M, thì:  f ( z )dz  ML; L  length(C ) Ciii. Định lý 3.2 (bổ đề Green):Nếu miền D có biên C trơntừng đoạn, P(x,y), Q(x,y), ∂P/∂y và ∂Q/∂x liên tục trong vàtrên biên của D thì:  Q P   C Pdx  Qdy    D    dxdy x y  1. Hàm giải tíchMột số tính chất và định lý liên quaniv. Định lý 3.5 (Định lý Cauchy): Nếu f(z) là giải tích tại mọiđiểm thuộc miền D giới hạn bởi đường cong C trơn từngđoạn thì: C  f ( z )dz  0 1. Hàm giải tíchMột số tính chất và định lý liên quanv. Định lý 3.6 (Nguyên lý biến dạng chu tuyến): Nếu đườngcong C1 có thể biến dạng thành C2 mà không vượt qua bấtkỳ điểm nào mà tại đó f(z) không giải tích thì:  C1 f ( z )dz   C2 f ( z )dz 1Ví dụ: Tính tích phânkỳ: C  z dz với C là một đường cong bấta. Không chứa gốc tọa độb. Chứa gốc tọa độ? 1. Hàm giải tíchMột số tính chất và định lý liên quanGiải:a. Nếu C không chứa gốc tọa độ, theo định lý Cauchy ta có 1  C z dz  0(gốc tọa độ z0 = 0 là một điểm mà f(z) không giải tích).b. Nếu C chứa gốc tọa độ, theo nguyên lý biến dạng chutuyến, có thể chọn C là đường tròn z = reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π). Khiđó: dz  jre j d 2 2 1 1   d  j  d  2 j j dz  j jre C z 0 re 0 1Kết quả này có thể mở rộng cho tích phân  ...