Sử dụng các tính chất của hàm Beta để tính một số tích phân suy rộng

Bài viết Sử dụng các tính chất của hàm Beta để tính một số tích phân suy rộng trình bày lại về hàm Beta, các tính chất của nó và một vài ví dụ sử dụng tính chất của hàm Beta để tính tích phân suy rộng. Qua đó, các em sinh viên có thêm một cách làm với một số bài toán tích phân suy rộng hay và khó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sử dụng các tính chất của hàm Beta để tính một số tích phân suy rộng KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 58/2022 SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM BETA ĐỂ TÍNH MỘT SỐ TÍCH PHÂN SUY RỘNG ThS. Trần Thị Thùy Dung* Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh * Email: thuydung294@gmail.com Mobile: 0975 179 741 Tóm tắt Từ khóa: Tích phân suy rộng Biến đổi; Hàm Beta; Tính 1 chất; Tích phân B(x, y)   t x 1 (1  t) y1dt 0 gọi là tích phân Ơle loại I. Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng tích phân này hội tụ với mọi x  0, y  0 . Khi đó B(x, y) đƣợc gọi là hàm Beta. Hàm Beta có rất nhiều tính chất quan trọng nhƣ tính đối xứng và đặc biệt là mối quan hệ chặt chẽ với hàm Gamma. Sử dụng hàm Beta cùng với các tính chất của nó giúp ta giải quyết dễ dàng một số bài toán tích phân suy rộng khó. 1 1. GIỚI THIỆU Hàm Beta là một hàm đặc biệt, còn gọi là tích B(m,n)   x m1 (1  x)n 1dx phân Euler của loại đầu tiên. Nó đóng vai trò quan 0 0 trọng trong giải tích vì nó có mối quan hệ chặt chẽ    (1  y) m1y n 1dy với hàm Gamma, bản thân hàm này hoạt động nhƣ 1 sự tổng quát hóa của hàm giai thừa. Trong giải tích 1 nhiều hàm tích phân phức tạp đƣợc rút gọn thành   x n 1 (1  x) m 1dx  B(n,m) các tích phân bình thƣờng liên quan đến hàm Beta. 0 Tích phân suy rộng là một phần kiến thức khó Tính chất 2. [2] trong học phần toán cao cấp 1 đối với các em sinh  x m1 viên trƣờng Đại học Công nghiệp Quảng Ninh. Vì B(m,n)   dx vậy, trong bài báo này tôi muốn trình bày lại về 0 (x  1)mn hàm Beta, các tính chất của nó và một vài ví dụ sử Chứng minh dụng tính chất của hàm Beta để tính tích phân suy Trƣớc hết ta đặt rộng. Qua đó, các em sinh viên có thêm một cách y y  1  2 x  dx  d( ) 1 y 1 y  làm với một số bài toán tích phân suy rộng hay và dy 1 y  khó. Ta có 2. NỘI DUNG  x m1 2.1.Định nghĩa. [1]  (x  1) 0 mn dx Hàm Beta B(m,n) m 1  (m  n) 2 1  y   y   1  Với m, n là các số thực dƣơng thì hàm   1  1  y  0 1 y      1  y  dy   B(m,n) đƣợc xác định nhƣ sau m 1  (m  n) 2 1  y   1  ...