Bài giảng Toán cao cấp 1 - Trường ĐH Công nghiệp Thực Phẩm

Bài giảng Toán cao cấp 1 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: giới hạn và tính liên tục; phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân hàm một biến; lý thuyết chuỗi. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 1 - Trường ĐH Công nghiệp Thực Phẩm NGUYỄN QUỐC TIẾN BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1 GIẢNG VIÊN: NGUYỄN QUỐC TIẾN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 10/2011 NGUYỄN QUỐC TIẾN 1 CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn dãy số 1.1.1 Dãy số Một dãy số thực là một ánh xạ x từ tập các số tự nhiên  đến tập các số thực R . x:   n  x(n) : xn x(n ) thường được ký hiệu là xn gọi là số hạng thứ n của dãy. Một dãy số với các số hạng là xn thường được viết gọn là ( xn ) . 1 1 1 1 Ví dụ 1): ( xn ) với xn  . Khi đó: x1  1, x2  , x3  ..., xn  ,... n 2 3 n 2): ( xn ) với xn  ( 1) n . Khi đó: x1  1, x2  1, x3  1..., xn  ( 1) n ,... 1.1.2 Giới hạn của dãy số Dãy (xn) được gọi có giới hạn là a nếu:   0,  n0  0 : n  n0  xn  a   Khi đó ta cũng nói dãy ( xn ) hội tụ về a. Kí hiệu lim xn  a hoặc xn  a , n   . Nếu dãy n ( xn ) không hội tụ thì ta nói dãy ( xn ) phân kỳ. n Ví dụ Cho dãy số ( xn ) với xn  . Chứng minh lim xn  1 n 1 n  Ta có n 1 xn  1  1  n 1 n 1 do đó khi muốn xn gần 1 bao nhiêu cũng được ta đặt: xn  1   ,   0 hay 1   ,   0 n 1 1  n  1  1  1 Chọn n0    1 ( phần nguyên của  1 ). Khi đó n  n0 thì xn gần 1 bao nhiêu cũng được.    Hay lim xn  1 n  1 NGUYỄN QUỐC TIẾN 1.1.3 Định lí. Nếu dãy ( xn ) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất a b Chứng minh. Giả sử xn  a và xn  b, a  b khi n   , chọn    0 theo định nghĩa về 2 giới hạn của dãy tồn tại n01 , n02  N sao cho:   n  n01  xn  a  và n  n02  xn  b  . 2 2 Đặt n0  max(n01 , n02 ) . Khi đó với n  n0 ta có:   a b a  b  xn  a  xn  b     2 2 2 a b suy ra a  b  . Điều này vô lí. Vậy a  b . 2 1.1.4 Định lí . Cho ba dãy ( xn ), ( yn ), ( zn ) . Nếu xn  yn  z n , n  N và lim xn  lim zn  a n  n  thì lim yn  a n    Chứng minh. Vì lim xn  lim zn  a nên n0  N : n  n0  ( xn  a  , zn  a  ) do đó n  n  2 2   n  n0  yn  a  xn  a  z n  a    . 2 2 Vậy lim yn  a n Cho x0  R ,  -lân cận của x0 là khoảng số thực có dạng ( x0   , x0   ),  0 . 1.2 Giới hạn của hàm số 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ tại x0 ). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f ( x) khi x dần đến x0 nếu:   0,   0, x  D : (0  x  x0    f ( x)  L   ) và được kí hiệu lim f ( x)  L hay f ( x )  L khi x  x0 . x  x0 Giới hạn của hàm số f ( x ) khi x dần đến x0 còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số như sau: lim f ( x)  L    xn  : xn  x0  f ( xn )  L x  x0 2 NGUYỄN QUỐC TIẾN 1.2.2 Giới hạn một phía Cho hàm số f ( x ) xác định trong khoảng ( , x0 ] (có thể trừ tại x0 ). Số L1 được gọi là giới hạn trái của hàm số f ( x ) khi x dần đến x0 ( x  ( , x0 ] )nếu:   0,   0, x  ( , x0 ] : (0  x  x0    f ( x)  L1   ) . Kí hiệu lim f ( x)  L1 hay ...