Bài giảng: Giải tích đa trị

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Không gian tuyến tính và tập lồi Không gian tuyến tính sắp thứ tự Chương 2: Giới hạn và tính liên tục của hàm số Giới hạn dãy tập Ánh xạ đa trị Tính liên tục của ánh xạ đa trị Chương 3: Quá trình lồi đóng Chương 4: Tồn tại và ổn định của điểm cân bằng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng: Giải tích đa trị LOGO GIẢI TÍCH ĐA TRỊ BỘ MÔN TOÁN – KHOA SƯ PHẠM- TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG. GIẢNG VIÊN : LÊ KIÊN THÀNH. MỤC LỤC  Chương 1: Kiến thức chuẩn bị  Không gian tuyến tính và tập lồi  Không gian tuyến tính sắp thứ tự  Chương 2: Giới hạn và tính liên tục của hàm số  Giới hạn dãy tập  Ánh xạ đa trị  Tính liên tục của ánh xạ đa trị  Chương 3: Quá trình lồi đóng  Chương 4: Tồn tại và ổn định của điểm cân bằng 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1. Không gian tuyến tính và tập lồi  Định nghĩa không gian tuyến tính.  Định nghĩa tập hợp lồi (tiết 1). 4 Tiết 2 Định nghĩa và các tính chất nón lồi 5 NỘI DUNG BÀI GIẢNG 1 Ổn định lớp 1 2 kiểm tra bài cũ 3 Tiến trình bài mới 4 Củng cố 5 Dặn dò 6 KIỂM TRA BÀI CŨ Thật vậy, với mọi x; y 2 C; ﾽ 2 [0;1] ta có Bài tập. Cho tập hợp con C không rỗng của không gian tuyến tính ﾽx 2 C (1ﾽ ﾽ)y 2 C thực X. Với bao hàm thức C + C ﾽ C khi đó ta có Tập hợp C có tính chất x 2 C; ﾽ > 0 = ﾽx 2 C và tập hợp C thỏa ) điều kiện C + C ﾽ C ﾽx + (1ﾽminh 2ằng C là tập lồi . Chứng ﾽ)y r C Nghĩa là nón C là lồi. ﾽ 7 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA NÓN Nội dung 2 1 Nón có đỉnh I. Định nghĩa nón 2 Nón tái tạo 2 1 Nón lồi II. Các tính chất của nón 2 Nón sinh bởi một tập 8 ĐỊNH NGHĨA NÓN I. Khái niệm nón 1. Định nghĩa Giả sử C là một tập con không rỗng của không gian tuyến tính thực X. 1. Tập C được gọi là Nón, nếu x 2 C;ﾽ ﾽ 0 = ﾽx 2 C ) 2. Một nón C gọi là nón có đỉnh, nếu C ﾽ C =X 9 ĐỊNH NGHĨA NÓN (ﾽ > 0) ﾽx C C x 0X 0X 10 ĐỊNH NGHĨA NÓN 2. Một nón C gọi là tái tạo, nếu C [ (ﾽ C) = f X g 3. Tập con lồi không rỗng B của nón lồi C 6 f 0X g gọi = là một cơ sở của C, nếu mỗi x 2 C nf 0X g được biểu diễn duy nhất dạng x = ﾽb ﾽ > 0; b2 B 11 ĐỊNH NGHĨA NÓN x = ﾽb Cơ b C sở B B 0X của nón C 12 TÍNH CHẤT CỦA NÓN II. Các tính chất của nón Bổ đề 1.2 Nón C trong không gian tuyến tính thực là lồi khi và chỉ khi C +C ﾽ C Chứng minh = ) Giả sử C là nón lồi. Khi đó, với x; y 2 C ta có ) 1 1 1 x + y = (x + y) 2 C 2 2 2 Suy ra x + y 2 C . Vậy, C + C ﾽ C 13 TÍNH CHẤT CỦA NÓN ( =) Với mọi x; y 2 C; ﾽ 2 [0; 1]ta có ﾽx 2 C (1ﾽ ﾽ)y 2 C Với bao hàm thức C + C ﾽ C khi đó ta có ﾽx + (1ﾽ ﾽ)y 2 C Nghĩa là nón C là lồi. ﾽ 14 TÍNH CHẤT CỦA NÓN Bổ đề 1.2 Giả sử C là nón lồi trong không gian tuyến tính thực X, với phần trong đại số không rỗng. Khi đó a) int(C) [ f 0X g là nón lồi, b) int(C) = C + int(C). 15 TÍNH CHẤT CỦA NÓN Chứng minh ﾽ a) Lấy bất kỳ x 2 int(C);ﾽ > 0 . Với mọi x 2 X có ﾽ > 0 sao cho ﾽ ﾽ ﾽ x + x 2 C; ﾽ 8ﾽ 2 [0; ﾽ] ﾽ Khi đó C là nón, ta lấy ﾽ ﾽ ﾽ ﾽ ﾽ x + x = ﾽx + ﾽx 2 C ﾽ ﾽ 2 [0; ﾽ] ﾽ Vậy, ta được ﾽﾽ 2 int(C) = int(C) [ f 0X g là nón lồi. x ) ...