Bài giảng giải tích hàm - Nguyễn Chi Phương

Tham khảo bài viết giải tích hàm, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng giải tích hàm - Nguyễn Chi PhươngBieân soaïn: Nguyeãn Chí Phöông D. Baøi taäp maãu GIAÛI TÍCH HAØM Baøi 1 : CMR: | d(u,v) - d(x,y) |  d(u,x) + (v,y),  x, y,u,v  X Giaûi:CHÖÔNG 1: KHOAÛNG CAÙCH Söû duïng BÑT: d(u,v)  d(u,x) + d(x,y) + d(y,v)  d(u,v) - d(x,y)  d(u,x) + d(y,v)A. Khoâng gian MetricCho taäp hôïp X. Xeùt aùnh xaï d: X x X  R laø metric treân X neáu Baøi 2 : CMR: | d(x,A) - d(y,A) |  d(x,y) ,  x, y  Athoûa caù c tính chaát sau: Giaûi:1. d(x,y)  0 ,  x, y  X d(x,A) = inf d(x,u)  d(x,u)  d(x,y) + d(y,u)2. d(x,y) = 0  x = y uA3. d(x,y) = d(y,x) ,  x, y  X4. d(x,y)  d(x,z) + d(z,y) ,  x, y,z  X  d(x,A)  d(x,y) + inf d(y,u) = d(x,y) + d(y,A) uABoä (X,d) ñöôïc goïi laø khoâng gian metric  d(x,A) - d(y,A)  d(x,y)B. Khoâng gian ñònh chuaån Baøi 3 : CMR: Neáu A  B  Cho taäp hôïp X. Xeùt aùnh xaï ||.||: X x X  R laø ñònh chuaån treân X thì diam(A  B)  diam A + diam Bneáu thoûa caù c tính chaát sau: Giaûi:1. ||x||  0 ,  x  X Xeùt vôùi  x, y  A  B2. ||x|| = 0  x = 0 TH1: x,y  A thì d(x,y)  diamA3. ||  x|| = |  | ||x|| ,    K,  x  X  sup d(x,y)  diamA4. ||x+y||  ||x|| + ||y|| x , y ABoä (X,||.||) ñöôïc goïi laø khoâng gian ñònh chuaån  diam(A  B)  diamA  diam(A  B)  diamA +diamB* Moät soá khoâng gian thoâng duïng TH2: x,y  B : töông töï1. Khoâng gian Rn:  x=(x1,x2,…,xn ) y=(y1,y2,…,yn) TH3: x  A, y  B. Khi ñoù  z  A  B thoûa: n n d(x,y)  d(x,z)+d(z,y)d ( x, y )   ( xi  yi ) 2 ; ||x|| = i 1 x i 1 i 2  d(x,y)  sup d(x,z) + sup d(z,y) = diamA + diamB x , z A z , yB2. Khoâng gian C[ a ,b ] ={x(t): x lieân tuïc treân [a,b]  sup d(x,y)  diamA + diamBd(x,y) = max {x(t) - y(t)} ; ||x|| = max {x(t)} z , y A B t[ a ,b ] t[ a ,b ]  diam(A  B)  diamA + diamB b P3. Khoâng gian L = { f  C[ a ,b ] :  | f | ds Baøi 1 : CMR: d(x,A) = 0  x  ACHÖÔNG 2: TAÄP ÑOÙNG – TAÄP MÔÛ Giaûi: AÙp duïng caùch 2 CM taäp ñoùng CM thuaän : Cho d(x,A) = 0. CM x  AA. Ñònh nghóa veà daõy hoäi tuï Do d(x,A)=0  inf d(x,y) = 0- Cho khoâng gian metric (X,d) vaø {xn}  X, xnx0 y A  lim d(xn,x0) = 0  n  N,  {xn}  A sao cho d(x, xn) = 0 n   {xn}  A sao cho xn  x   >0,  N  N : d(xn,x0) <  ,  n >N ...