Bài tập kiểm tra nhóm, ôn thi cao học

Bài tập kiểm tra nhóm, ôn thi cao học bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập kiểm tra nhóm, ôn thi cao học Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS Tr n Huyên Ngày 28 tháng 10 năm 2004 Các bài t p ki m tra nhóm con M t d ng khác c a k năng ki m tra nhóm là k năng ki m tra nhóm con. Mu n ki m tra nhóm con ta c n n m v ng ba tiêu chu n thông thư ng v nhóm con như sau. 1 Tiêu chu n 1 M t t p con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con c a X (vi t A ⊂ X ho c A n X) n u • ∀x, y ∈ A thì xy ∈ A; • e ∈ A; • ∀x ∈ A thì x−1 ∈ A. 1 Ví d 1: Ch ng minh r ng Mn = A : det A = 1 (g m các ma tr n vuông c p n, đ nh th c ∗ b ng 1) là nhóm con c a nhóm Mn (nhóm nhân các ma tr n c p n không suy bi n) 1 n ∗ 1 Bài gi i: Ta ch ng minh Mn ⊂ Mn theo tiêu chu n 1. Trư c h t hi n nhiên Mn = ∅, đ ng th i ta có 1 • ∀ X, Y ∈ Mn thì det X = det Y = 1 do đó det X.Y = det X. det Y = 1.1 = 1 nghĩa là 1 X.Y ∈ Mn . 1 • Ma tr n đơn v E ∈ Mn (vì det E = 1). 1 • ∀ X ∈ Mn thì det X = 1 nên det X −1 = 1 = 1, do đó X −1 ∈ Mn . 1 det X 1 1 n ∗ V y Mn th a c ba đi u ki n c a tiêu chu n 1 nên Mn ⊂ Mn . 1 2 Tiêu chu n 2 Đư c suy ra t tiêu chu n 1 nhưng b đi đòi h i e ∈ A (vì đòi h i này ch là h qu c a hai đòi h i còn l i). Như v y, n u áp d ng tiêu chu n 2 đ x lí Ví d 1 thì trong l i gi i ta 1 lo i b đòi h i E ∈ Mn . Ví d 2: Cho trư c s nguyên m. Ch ng minh r ng mZ = {mz : z ∈ Z} ⊂ (Z, +) n Bài gi i: Ta ki m tra mZ ⊂ (Z, +) theo tiêu chu n 2. Trư c h t, hi n nhiên mZ = ∅ và ta có: n • ∀ mz1 , mz2 ∈ mZ : mz1 + mz2 = m(z1 + z2 ) ∈ mZ. • ∀ mz ∈ mZ : −(mz) = m(−z) ∈ mZ. V y mZ th a c hai đòi h i c a tiêu chu n 2 nên mZ ⊂ (Z, +). n Nh n xét: Thông thư ng trong lý thuy t ta ng m đ nh phép toán trong nhóm là nhân và ký hi u ph n t ngh ch đ o là (·)−1 . Tuy nhiên khi phép toán trong nhóm là c ng thì t t c các d u nhân trong các bi u th c đ u đ i sang d u c ng và ph n t ngh ch đ o đ i thành ph n t đ i và vi t là −(·). 3 Tiêu chu n 3 M t t p h p con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con c a X n u ∀ x, y ∈ A thì xy −1 ∈ A. N u áp d ng tiêu chu n 3 này đ x lý Ví d 1 ta ch c n ki m tra: 1 ∀ X, Y ∈ Mn ⇒ det X = det Y = 1 det X 1 ⇒ det(XY −1 ) = = =1 det Y 1 ⇒ XY −1 ∈ Mn 1 N u áp d ng tiêu chu n 3 cho ví d 2, ta ch c n ki m tra ∀ mz1 , mz2 ∈ mZ ⇒ mz1 − mz2 = m(z1 − z2 ) ∈ mZ Nh n xét: Trong ba tiêu chu n nêu trên, các l i gi i s d ng tiêu chu n 3 có v ng n g n hơn c . Tuy nhiên n u trong l i gi i b t bu c ph i tính ph n t ngh ch đ o thì đ tránh s rư m rà ta nên dùng tiêu chu n 2 vì th c ch t vi c dùng tiêu chu n 3 lúc đó các bư c tính toán cũng dài ngang v i dùng tiêu chu n 2. Ví d 3: Cho t p h p các ma tr n c p hai a b K= :a=0 0 1 ∗ ∗ Ch ng minh K ⊂ M2 (M2 là nhóm nhân các ma tr n c p hai không suy bi n). n Bài gi i: (Vì n u dùng tiêu chu n 3, ta cũng ph i tính trư c các ph n t ngh ch đ o, do v y ta dùng tiêu chu n 2) Trư c h t K = ∅ (hi n nhiên). Và đ ng th i: 2 a b c d • ∀ , ∈ K ta có: a = 0, b = 0 nên 0 1 0 1 a b c d ac ad + b = ∈K 0 1 0 1 0 1 vì ac = 0 −1 a b a b 1/a −b/a 1 • ∀ ∈ K thì = ∈ K vì a = 0. 0 1 0 1 ...