Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 1: Đạo hàm và vi phân

Bài giảng "Giải tích hàm nhiều biến - Chương 1: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục, đạo hàm riêng, khả vi và Vi phân, đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 1: Đạo hàm và vi phân GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN• CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN• CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI• CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG• CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT• CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucnttCHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN• §1: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục• §2: Đạo hàm riêng• §3: Khả vi và Vi phân• §4: Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp• §5: Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn• §6: Công thức Taylor – Maclaurint• §7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcĐịnh nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của R2Hàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ f : D → R ( x, y ) f ( x, y ) zMiền xác định của hàm là tất cả các giá trị của (x,y)làm biểu thức của hàm có nghĩaMiền giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm có thểnhận được CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcVí dụ : Tìm MXĐ, MGT của hàm f ( x, y ) 9 x2 y2 MXĐ là hình tròn D ( x, y ) R 2 : x 2 y2 9 MGT là đoạn [0,3] MXĐ 3 f(x,y) 3 0 3 (x,y) MGT CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục x y 1Ví dụ: Cho hàm f ( x, y ) x 1 Tính f(2,1) và tìm MXĐ của fGiải :a. f(2,1) = 2b. MXĐ :Ta lấy nửa mặtphẳng phía trênđường thẳng x+y+1= 0 và bỏ đi toàn bộđường x = 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcCho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D. Đồ thị của f làtập tất cả các điểm M(x, y, z)R3, với (x, y)D, z = f(x,y)  Đồ thị hàm z = f(x, y) là phần mặt S, khác với đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcHình tròn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r – kí hiệuB(M0,r) là tập 2B(M0 , r ) M R : d (M , M 0 ) r 2 2 2 ( x, y ) R : (x x0 ) (y y0 ) rHình tròn mở này còn được gọi là một r - lân cậncủa điểm M CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcCho tập D và 1 điểm M thuộc R2. Ta định nghĩa 3loại điểm như sau :Điểm trong : M gọi là điểm trong của D nếu tồn tạiít nhất r>0 sao cho r- lân cận của M là B(M,r) nằmhoàn toàn trong D.Điểm biên : M gọi là điểm biên của D nếu với mọir>0, hình cầu mở B(M,r) chứa những điểm thuộc Dvà những điểm không thuộc D.Điểm tụ : Điểm M gọi là điểm tụ của D nếu vớimọi r>0, hình cầu mở B(M,r) đều chứa ít nhất 1điểm N thuộc D, khác M CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcĐịnh lý : Điểm M là điểm tụ của tập D khi và chỉ khitồn tại dãy điểm Mn (Mn≠M) tiến về M, tức là khi n→∞thìd(Mn,M) →0• Chú ý :1. Như vậy điểm trong của D chắc chắn thuộc A, còn điểm biên của D thì có thể không thuộc D.2. Điểm biên chắc chắn là điểm tụ, nhưng điểm tụ thì có thể không là điểm biên CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcTập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biêncủa nó. Tập các điểm biên của D gọi là biên của DTập D được gọi là tập mở nếu R2\D là tập đóng, khi đó,mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bấtkỳ điểm biên nàoTập D được gọi là tập bị chặn nếu nó được chứa trongmột hình cầu nào đó, tức là r : D B(O, r )Như vậy, có những tập chỉ chứa 1 phần biên màkhông chứa toàn bộ biên nên sẽ là tập không mở,không đóng. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcVí dụ : Cho D là phần hình cầu D ( x, y , z ) R 3 : x 2 y2 z2 4Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đóD không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểmthuộc D đều là điểm trong. Vậy D là tập mởVí dụ : Cho hình vành khănD ( x, y ) R 2 : 1 x 2 y 2 4Biên của D là 2 đường tròn x2 + y2=1 và x2+y2 = 4nằm hoàn toàn trong D nên D là tập đóng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcVí dụ : Trong R2 cho miền D D ( x, y ) R 2 : x y 3, x 0, y 0 Biên của D là 3 đoạn OA, OB, AB. Miền D không chứa đoạn AB tức là D B B không chứa mọi điểm biên nên D không là tập đóng. O A Tuy nhiên, D không là tập mở vì D chứa các điểm biên thuộc đoạn OA, OB Tập D là tập bị chặn vì ta có thể lấy đường tròn ngoại tiếp D chứa D (đường tròn tâm I là trung điểm AB, bán kính r = 1/2AB) tức là D nằm hoàn toàn trong 1 hình cầu mở CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến : Cho hàm f(x,y) có miền xác định là D và M0(x0,y0) là 1 điểm tụ của D. Số a được gọi là giới hạn của hàm f khi x→x0, y→y0 (hay M →M0) nếu ...