Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2

Nối tiếp phần 1, Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2 tiếp tục trình bày những nội dung về tích phân đường và mặt; tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai; tích phân mặt loại một; tích phân mặt loại hai; phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp 1; phương trình vi phân cấp 2; hệ phương trình vi phân;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 2 TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNGHỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ PGS. TS. Phạm Ngọc Anh HÀ NỘI-2013 Ch¬ng 3. TÝh ph©n ®êng vµ mÆt3.1. TÝh ph©n ®êng lo¹i 1.3.1.1. §Þnh nghÜa. Cho hµm hai biÕn sè z = f (x, y) x¸ ®Þnh trªn ung g AB+ Ph©n ho¹h P ung g AB bëi n ®iÓm A = C0 , C1 , C2 , ..., Cn = B.Ký hiÖu ∆i lµ ®é dµi ¸ ung C^ i−1 Ci ∀i = 1, 2, ..., n vµ ∆P = max{∆1 , ∆2 , ..., ∆n }.+ Chän mét ®iÓm tïy ý Mi ∈ C^ i−1 Ci . Khi ®ã n X σP = f (Mi )∆i i=1®î gäi lµ tæng tÝh ph©n ®êng lo¹i 1 ña hµm g . NÕu giíi h¹n f (x, y) trªn ung AB I = lim σP ∆P →0tån t¹i, kh«ng ph thué vµo php ph©n ho¹h P vµ hän ®iÓm Mi , th× I ®î gäi lµ tÝh ph©n®êng lo¹i 1 ña hµm f (x, y) trªn ung g AB (hay ta ßn nãi f (x, y) kh¶ tÝh trªn ung g) AB vµ R®î ký hiÖu lµ g tr¬n tõng khó (ung f (x, y)ds. Ngêi ta høng minh ®î r»ng nÕu ung AB g ABx¸ ®Þnh hµm sè kh¶ vi liªn t tõng khó) vµ hµm f (x, y) liªn t trªn g AB th× hµm sè f (x, y)kh¶ tÝh trªn g. AB Dùa vµo ®Þnh nghÜa, ta ã ¸ tÝnh hÊt:3.1.2. TÝnh hÊt. R R+ f (x, y)ds = f (x, y)ds. g AB g BA R+ g lµ ®é dµi ña 1ds = |AB| ung g. AB g AB R+ NÕu ung g AB ã khèi lîng riªng g = ρ(x, y) th× mAB g. ρ(x, y)ds lµ khèi lîng ña ung AB g AB3.1.3 C«ng thø tÝnh.a) Cung g AB ã d¹ng tæng qu¸t Trêng hîp 1: Cho ung tr¬n tõng khó g AB ã d¹ng y = ϕ(x) x ∈ [a, b] vµ hµm sè f (x, y)liªn t trªn ung g . Khi ®ã AB Z Zb p f (x, y)ds = f (x, ϕ(x)) 1 + ϕ′2 (x)dx. (3.1) g AB a 73 Trêng hîp 2: Cho ung tr¬n tõng khó g AB ã d¹ng x = φ(y) y ∈ [c, d] vµ hµm sè f (x, y)liªn t trªn ung g . Khi ®ã AB Z Zd p f (x, y)ds = f (φ(y), y) 1 + φ′2 (y)dy. (3.2) g AB c Chøng minh: Ta høng minh ho trêng hîp 1, trêng hîp 2 lµ t¬ng tù. Theo ®Þnh nghÜa,gi¶ sö Ci (xi , yi ), ∆xi = xi − xi−1 , ∆yi = yi − yi−1 ∀i = 1, 2, ..., n. Khi ∆xi ®ñ nhá, ta ã s p ∆yi ∆i ≈ Ci−1 Ci = (xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 = ∆xi 1 − . ∆xiTheo «ng thø sè gia giíi néi ∆yi ϕ(xi ) − ϕ(xi−1 = = ϕ′ (ξi ) xi−1 ≤ ξi ≤ xi ∀i = 1, 2, ..., n. ∆xi ∆xiKhi ®ã n X n X p σP = f (Mi )∆i ≈ f (ξi , ϕ(ξi )) 1 − ϕ′2 (ξi )∆xi . i=1 i=1§Æt ∆x = max{∆x1 , ..., ∆xn }. Khi ®ã Z ...