Bài giảng Giải tích II: Chương 5 - Tích phân mặt

Bài giảng "Giải tích II: Chương 5 - Tích phân mặt" trình bày các nội dung chính sau đây: Tích phân mặt loại một; Các tính chất của tích phân mặt loại một; Cách tính tích phân mặt loại một; Tích phân mặt loại hai; Các tính chất của tích phân mặt loại hai; Cách tính tích phân mặt loại hai;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích II: Chương 5 - Tích phân mặt Chương 5 TÍCH PHÂN MẶT BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 1/33 1 / 33Nội dung1 Nội dung, mục tiêu Tích phân mặt loại một Tích phân mặt loại hai Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 2/33 2 / 33Tích phân mặtNội dung Chương 51.1 Tích phân mặt loại một1.2 Tích phân mặt loại hai Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 3/33 3 / 33Tích phân mặt loại mộtĐịnh nghĩaCho hàm số f (x, y, z) xác định trên một mặt S đóng và bị chặn trong R3 . • Chia mặt S thành n mặt con p : S1 , S2 , . . . , Sn với diện tích tương ứng là ∆S1 , ∆S2 , . . . , ∆Sn . • Trong mỗi mảnh Si lấy một điểm tuỳ ý Mi (xi , yi , zi ). • Lập tổng tích phân n S(f, p) = f (xi , yi , zi )∆Si . i=1 • Nếu tồn tại giới hạn limdp→0 S(f, p) = I (dp = max d(Si )), không phụ thuộc vào cách Hình 1: Mặt cong 1≤i≤n chia miền thành các miền con Sivà cách lấy các điểm Mi , thì giới hạn này được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f (x, y, z) trên mặt S.Tích phân này được ký hiệu là f (x, y, z)dS. Khi đó, ta nói f khả tích trên S. S Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 4/33 4 / 33Các tính chất của tích phân mặt loại mộtTính chất 1. Diện tích của mặt cong S = 1dS; S 2. Tích phân mặt loại một không phụ thuộc phía của S; 3. Nếu S = S1 ∪ S2 và S1 , S2 không dẫm lên nhau thì f (x, y, z)dS = f (x, y, z)dS + f (x, y, z)dS; S S1 S2 4. Nếu S gồm 2 phần S1 và S2 đối xứng với nhau qua mp z = 0 (Oxy) và • f chẵn theo z thì f (x, y, z)dS = 2 f (x, y, z)dS, S S1 • f lẻ theo z thì f (x, y, z)dS = 0. STích phân mặt loại một có nhiều ứng dụng trong vật lý tương tự như tích phân xác định và tích phân bội ta đãxét. Ví dụ, trong trường hợp một mặt mỏng (như mảnh giấy nhôm) có hình dạng của mặt cong S, khối lượngriêng tại mỗi điểm M (x, y, z) là ρ(x, y, z) thì khối lượng của mặt mỏng sẽ được cho bởi ρ(x, y, z)dS. S Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 5/33 5 / 33Cách tính tích phân mặt loại mộtCách tínhGiả sử S được cho bởi phương trình z = z(x, y) với(x, y) ∈ D ⊂ R2 , trong đó z(x, y) là một hàm số khảvi liên tục, D là hình chiếu của mặt S lên mặt phẳng(Oxy). Khi đó, • dS = ′ ′ 1 + zx 2 + zy 2 dxdy, • f (x, y, z)dS S = f x, y, z(x, y) ′ ′ 1 + zx 2 + zy 2 dxdy. D Hình 2: Cách tính tích phân mặt loại một Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 6/33 6 / 33Cách tính tích phân mặt loại mộtTổng quát:B1. Chọn cách viết phương trình mặt cong S (theo biến có số lần xuất hiện ít nhất trong phương trình mặt cong S và các mặt chắn),B2. Tìm hình chiếu D của S lên mp tương ứng (giống tính thể tích trong phần tích phân kép),B3. Tính tích phân trên D. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 7/33 7 / 33Các ví dụVí dụ 1Tính x2 + y 2 dS trên mặt biên của miền ...