Bài Giảng Giải tích II: Phần 2 - Bùi Xuân Diệu

(NB) Phần 2 cuốn "Bài Giảng Giải tích II" gồm nội dung chương 3, 4, 5, 6. Chương 3 trình bày về Tích phân phụ thuộc tham số. Chương 4 trình bày các vấn đề về Tích phân đường. Chương 5 giới thiệu về Tích phân mặt. Chương 6 giới thiệu về Lý thuyết trường. Mời bạn đọc tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài Giảng Giải tích II: Phần 2 - Bùi Xuân Diệu CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ . §1. T ÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ .1.1 Giới thiệu b Xét tích phân xác định phụ thuộc tham số: I (y) = f ( x, y) dx, trong đó f ( x, y) khả atích theo x trên [ a, b] với mỗi y ∈ [ c, d]. Trong bài học này chúng ta sẽ nghiên cứu một sốtính chất của hàm số I (y)như tính liên tục, khả vi, khả tích.1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. 1) Tính liên tục. Định lý 3.7. Nếu f ( x, y)là hàm số liên tục trên [ a, b ] × [ c, d] thì I (y)là hàm số liên tục trên [c, d]. Tức là: b b lim I (y) = I (y0 ) ⇔ lim f ( x, y) dx = f ( x, y0 ) dx y → y0 y → y0 a a 2) Tính khả vi. Định lý 3.8. Giả sử với mỗi y ∈ [c, d], f ( x, y) là hàm số liên tục theo x trên [ a, b] và f y ( x, y) là hàm số liên tục trên [ a, b] × [c, d] thì I (y) là hàm số khả vi trên (c, d) và 6364 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. b I (y) = f y ( x, y) dx , hay nói cách khác chúng ta có thể đưa dấu đạo hàm vào trong a tích phân. 3) Tính khả tích. Định lý 3.9. Nếu f ( x, y) là hàm số liên tục trên [ a, b] × [ c, d] thì I (y)là hàm số khả tích trên [c, d] , và:     d d b b d I (y) dy :=  f ( x, y) dx  dy =  f ( x, y) dy  dx c c a a cBài tập 1Bài tập 3.1. Khảo sát sự liên tục của tích phân I (y) = , với f ( x ) là hàm số y f (x) x 2 + y2 dx 0dương, liên tục trên [0, 1] .Lời giải. Nhận xét rằng hàm số g ( x, y) = liên tục trên mỗi hình chữ nhật [0, 1] × [ c, d] y f (x) x 2 + y2và [0, 1] × [−d, −c] với 0 < c < d bất kì, nên theo Định lý 3.7, I (y) liên tục trên mỗi[c, d] , [−d, −c] , hay nói cách khác I (y) liên tục với mọi y = 0.Bây giờ ta xét tính liên tục của hàm số I (y) tại điểm y = 0 . Do f ( x ) là hàm số dương, liêntục trên [0, 1] nên tồn tại m > 0 sao cho f ( x ) m > 0 ∀ x ∈ [0, 1] . Khi đó với ε > 0 thì: 1 1 ε f ( x) ε.m x I ( ε) = dx dx = m.arctg x 2 + ε2 x2+ε 2 ε 0 0 1 1 −ε f ( x ) −ε.m x I (−ε) = dx dx = −m.arctg x 2 + ε2 x 2 + ε2 ε 0 0Suy ra | I (ε) − I (−ε)| 2m.arctg x → ε 2m. π 2 khi ε → 0 , tức là | I (ε) − I (−ε)| không tiến tới0 khi ε → 0 , I (y) gián đoạn tại y = 0 .Bài tập 3.2. Tính các tích phân sau: 1 a) In (α) = x α lnn xdx , n là số nguyên dương. 0 Lời giải. – Với mỗi α > 0, hàm số f n ( x, α) = x α lnn x, n = 0, 1, 2, ... liên tục theo x trên [0, 1] 641. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 65 – Vì lim x α lnn+1 x = 0 nên = x α lnn+1 x liên tục trên [0, 1] × (0, +∞). ∂ f n ( x,α) ...