Bài giảng Hạng của ma trận - TS. Lê Xuân Trường

Bài giảng Hạng của ma trận d TS. Lê Xuân Trường biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, tính chất, tìm hạng ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Hạng của ma trận - TS. Lê Xuân TrườngHẠNG CỦA MA TRẬNTs. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)Ts. Lê Xuân TrườngKhoa Toán Thống KêHẠNG CỦA MA TRẬN1/5Định nghĩaCho A là một ma trận cấp m × n. Ta nói hạng của A là r∈ N nếutồn tại một định thức con cấp r của A khác 0,mọi định thức con cấp cao hơn r của A đều bằng 0.(định thức con cấp k của A là định thức của một ma trậnđược tạo thành từ các phần tửnằm trên giao của k dòng và k cột nào đó của A)−3 54Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A =  4 −2 −1133Ta có rank(A) = 2 vì det(A) = 0 và định thức con −3 5 4 −2 = −26 6= 0Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)HẠNG CỦA MA TRẬN2/5Tính chấtrank(A) ≤ min{m, n }rank(AT ) = rank(A)Nếu A là ma trận vuông cấp n thìA khả nghịch ⇐⇒ det(A) 6= 0 ⇐⇒ rank(A) = nHạng của một ma trận không đổi khi thực hiện các phép biến đổi sơcấp trên ma trận đóTs. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)HẠNG CỦA MA TRẬN3/5Tìm hạng ma trận bằng phép biến đổi sơ cấpMa trận bậc thang dòngCác dòng không (nếu có) luôn nằm dưới các dòng khác khôngPhần tử khác 0 đầu tiên (tính từ trái sang phải) của dòng phía dướiluôn nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng phía trênMột ma trận được gọi là ma trận bậc thang cột nếu chuyển vị của nólà ma trận bậc thang dòngMọi ma trận đều đưa được về dạng bậc thang bằng một số hữu hạnphép biến đổi sơ cấpTs. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)HẠNG CỦA MA TRẬN4/5Tìm hạng ma trận bằng phép biến đổi sơ cấpAbiến đổi sơ cấp−−−−−−−−→B (bậc thang dòng)=⇒ rank(A) = số dòng khác không của B1 2Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A =  −11−→−→3 50 31 02 41 −21 −2 350 5 −6 −7 −→ 0 50 00 145 0 00 3 −1 −11 −2350 5−6 −7 0 0 −26 −32 =⇒ rank(A)0 000A−2131Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)HẠNG CỦA MA TRẬN3−6−26−135−7 −32−16=35/5