Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 2 - Nguyễn Minh Hải

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất, cung cấp những kiến thức như Khái niệm biến ngẫu nhiên; Quy luật phân phối xác suất; Các tham số đặc trưng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 2 - Nguyễn Minh HảiChương 2.Biến ngẫu nhiên và quyluật phân phối xác suất Khái niệm biến ngẫu nhiên Quy luật phân phối xác suất Các tham số đặc trưng 12.1.Khái niệm biến ngẫu nhiên Ví dụ: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi X là “ Số chấm xuất hiện”, X có thể nhận: 1,2,3,4,5,6. 1 P( X  i )  , i=1,..,6 6 Biến ngẫu nhiên là một biến số mà khi ta thực hiện phép thử thì nó chỉ có thể nhận một và chỉ một giá trị trong số các giá trị mà nó có thể có. Ký hiệu: X,Y,.. x,y,.. Phân loại: BNN rời rạc, BNN liên tục. 22.2.Quy luật phân phối xác suất củabiến ngẫu nhiên Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là cách biễu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng. Một số cách thức mô tả: › Bảng phân phối xác suất › Hàm phân phối xác suất. › Hàm mật độ xác suất. 32.2.1.Bảng phân phối xác suất Chỉ dùng cho BNN rời rạc Nhận xét 0  pi  1, i  n   pi  1  i 1 42.2.2.Hàm phân phối xác suất Khái niệm: Cho biến ngẫu nhiên X. Với mỗi số thực x, xác định duy nhất một biến cố (X < x) với xác suất tương ứng P(X< x). Tương ứng này, xác định một hàm số trên R, ký hiệu là F(x). Ta có định nghĩa như sau: Hàm F(x) = P(X< x), x Є R gọi là hàm phân phối xác xuất của của biến ngẫu nhiên X. 5 Một số tính chất 62.2.3.Hàm mật độ xác suất Khái niệm: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục, ký hiệu f(x), là đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó. dF ( x) f ( x)  F ( x)  dx Một số tính chất +) Hàm mật độ xác suất không âm +) +) 7 Các dạng toán thường gặp Dạng 1. Cho hàm phân phối xác suất tìm hàm mật độ Ví dụ 2.4: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất: 0 nÕu x 0 F(x) x 1 e nÕu x 0, 0 1. Tìm hàm mật độ xác suất của X 2. Tính xác suất P (-1 < X < 1). 8 Ví dụ 2.5. Thời gian một khách xếp hàng chờ phục vụ là biến ngẫu nhiên liên tục X (phút) có hàm phân phối xác suất: 0 nÕu x 0 F(x) Ax 2 nÕu 0 x 3 1 nÕu x 3 1. Tìm A 2. Tìm hàm mật độ xác suất 3. Tính xác suất để trong 3 người xếp hàng chờ phục vụ thì có 2 người chờ không quá 2 phút. 9 Dạng 2. Cho hàm mật độ tìm hàm pp xác suất Ví dụ 2.6. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: 1 nÕu x (a,b) f(x) b a 0 nÕu x (a,b) Tìm hàm phân phối xác suất của X 102.3.Các tham số đặc trưng Kỳ vọng toán: E(X) Ý nghĩa: ??? 11 Phương sai: V ( X )  E ( X  EX )2 Ý nghĩa: ??? Tính chất của kỳ vọng và phương sai 12 Ví dụ 2.7. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: 1 nÕu x [0,15) f(x) 15 0 nÕu x [0,15) Tính E(X), V(X), σX 13 Ví dụ: Trong một trò chơi, nhà tổ chức bán cho người chơi những con xúc xắc may mắn với giá 5 nghìn đồng. Để tham gia chơi, người chơi phải mua con xúc xắc may mắn và tung lên, nếu con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm thì được 25 nghìn đồng, và được 0 đồng nếu ngược lại. Tính tiền lãi trung bình và độ biến động của tiền lãi của 1 người chơi: a. Mua 1 con xúc xắc b. Mua 5 con xúc xắc 14 Trung vị (md): Trung vị là giá trị chia phân phối của biến ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau. Nếu X là biến NN rời rạc thì giá trị Xi sẽ là trung vị md nếu thỏa mãn điều kiện: F(Xi ) ≤ 0,5< F(Xi+1 ) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì trung vị md sẽ là giá trị thỏa mãn điều kiện: md f(x)dx 0,5 15 Mốt (mo): Mốt là giá trị của biến NN tương ứng với: - Xác suất lớn nhất nếu là biến NN rời rạc - Cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến NN liên tục 16Ví dụ. Tìm trung vị và mốt của biến ngẫu nhiên cóbảng phân phối xác suất sau: X 20 21 22 23 24 25 0,3 0,25 0,18 0,14 0,1 0,03 P 17 ...