Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân

Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm, đạo hàm cấp cao, vi phân, quy tắc L’Hospital, công thức Taylor - Maclaurint, khảo sát hàm y=f(x),... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phânCHƯƠNG 3:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm Bài toán mở đầu 1:Xét đường cong y=f(x).Một điểm P cố định trên đường cong và cát tuyến PQ. Cho điểm Q chạy trên đường cong tới điểm P.Nếu cát tuyến PQ dần đến vị trí giới hạn Pt thì đườngthẳng Pt được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại PBài toán đặt ra là khinào hàm có tiếptuyến tại P và hệ số tgóc là bao nhiêu? Q P Đạo hàm Bài toán mở đầu 2:Xét một vật chuyển động trên đường thẳng.Tại thời điểm t0 nó ở vị trí M0 với hoành độ s0 = s(t0)Tại thời điểm t1 nó ở vị trí M1 với hoành độ s1 = s(t1)Nếu vật chuyển động M0 M1đều thì ta có ngayvận tốc của vật. t0 t1 Nếu vật chuyển động không đều thì ta chỉ tính được quãng đường Δs = s1 – s0 trong khoảng thời gian Δt = t1 – t0.Từ đó, ta có vận tốc trung bình là tỉ số Δs/ Δt. Khoảngthời gian Δt càng nhỏ thì vận tốc đó càng gần vận tốcthật Đạo hàmCả hai bài toán trên đều dẫn ta đến việc tính giới hạncủa tỉ số Δf/ Δx khi Δx→0. Tức là dẫn đến việc lậphàm f(x) và tính đạo hàm của nóĐịnh nghĩa: Cho hàm f(x) xác định trong lân cậncủa x0, đạo hàm tại x0 của hàm f(x) là f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ( x0 ) = lim = lim x x0 x − x0 ∆x 0 ∆xNếu giới hạn trên là hữu hạnCác quy tắc tính đạo hàm( f + g) = f + g �f � f g − g f �g �= ( f .g ) = f g + g f � � g 2 Đạo hàm Bảng đạo hàm các hàm cơ bản1/ a( ) = a ln a ( e ) x x x =e x 9 / ( arccos x ) = −1 2 − 2 / ( x ) = a.x a a −1 1 x 1 1 1 10 / ( arctan x ) =3 / ( log a x ) = ( ln x ) = 1 + x2 x ln a x −14 / ( sin x ) = cos x 11 / ( arccot x ) = 1 + x25 / ( cos x ) = − sin x 12 / ( shx ) = chx 16 / ( tan x ) = 2 = 1 + tan 2 x 13 / ( chx ) = shx cos x 1 1 14 / ( thx ) = 27 / ( cot x ) = − 2 = −(1 + cot x) 2 ch x sin x 1 1 15 / ( cthx ) = − 28 / ( arcsin x ) = sh x 1 − x2 Đạo hàmĐạo hàm 1 phía: f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) Đạo hàm trái: f − ( x0 ) = lim − ∆x 0 ∆x f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) Đạo hàm phải: f + ( x0 ) = lim + ∆x 0 ∆xĐịnh lý: Hàm f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nócó đạo hàm trái, đạo hàm phải tại x0 và 2 đạo hàmđó bằng nhau f (∆x + x0 ) − f ( x0 )Đạo hàm vô cùng: Nếu lim = ∆x 0 ∆xThì ta nói hàm f có đạo hàm ở vô cực Đạo hàmVí dụ: Tính đạo hàm của hàm f ( x) = 3 x − 1Áp dụng các quy tắc và bảng đạo hàm ta có 1f ( x) = 3 3 ( x − 1) 2Như vậy, tại x=1 không thể thay x=1 vào f ’ để tínhmà phải dùng định nghĩa f (∆x + 1) − f (1) 3 ∆xf (1) = lim = lim =+ ∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆xVậy: 1 ,x 1 f ( x) = 3 3 ( x − 1) 2 ,x =1 Đạo hàm sin x ,x 0 Ví dụ: Tính đạo hàm của f ( x) = x 1, x = 0Khi x≠0, ta tính bình thường. Khi x=0, ta dùng đ/n f (∆x + 0) − f (0) 1 �sin ∆x �f (0) = lim = lim � − 1�= 0 ∆ ...