Bài giảng Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Trong chương trình toán THCS thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hayvà khó đối với học sinh. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các kì thi lớnnhỏ trong nước và ngoài nước.Tuy nhiên lại không có nhiều tài liệu viết riêng về nội dung này, do vậy để phục vụ giảngdạy của bản thân, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học đội tuyển học sinh giỏi và bồi dưỡnghọc sinh thi vào các trường chuyên lớp chọn nên tôi đ; viết chuyên đề nay.Trong chuyên đề này tôi chỉ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ----------------------------------------------------------- A. Më ®ÇuI. Lý do chän chuyªn ®Ò: Trong ch−¬ng tr×nh to¸n THCS th× ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn vÉn lu«n l mét ®Ò t i hayv khã ®èi víi häc sinh. C¸c b i to¸n nghiÖm nguyªn th−êng xuyªn cã mÆt t¹i c¸c k× thi línnhá trong n−íc v ngo i n−íc.Tuy nhiªn l¹i kh«ng cã nhiÒu t i liÖu viÕt riªng vÒ néi dung n y, do vËy ®Ó phôc vô gi¶ngd¹y cña b¶n th©n, ®Æc biÖt l c«ng t¸c båi d−ìng häc ®éi tuyÓn häc sinh giái v båi d−ìnghäc sinh thi v o c¸c tr−êng chuyªn líp chän nªn t«i ® viÕt chuyªn ®Ò n y.Trong chuyªn ®Ò n y t«i chØ míi ®Ò cËp ®Õn vÊn ®Ò nghiÖm nguyªn ( cô thÓ l c¸c d¹ng vph−¬ng ph¸p gi¶i) chø kh«ng ®i s©u v× vèn hiÓu biÕt cßn cã h¹n.II. Ph¹m vi vµ môc ®Ých cña chuyªn ®Ò:1. Ph¹m vi cña chuyªn ®Ò: - Áp dông víi ®èi t−îng häc sinh kh¸- giái c¸c khèi 8- 92. Môc ®Ých chuyªn ®Ò: - Trao ®æi víi ®ång nghiÖp v häc sinh mét sè ph−¬ng ph¸p còng nh− l mét sè b ito¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn trong ch−¬ng tr×nh båi d−ìng häc sinh kh¸- giái c¸clíp 8, 9 - Gióp häc sinh biÕt vËn dông c¸c ph−¬ng ph¸p trªn mét c¸ch linh ho¹t trong viÖcgi¶i quyÕt c¸c b i to¸n vÒ nghiÖm nguyªn tõ dÔ ®Õn khã. ------------------------------------------------------------ 2 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn B- Néi dung.Ph−¬ng ph¸p 1: ¸p dông tÝnh chia hÕt. Các tính ch t thư ng dùng :– N u a ⋮ m và a ± b ⋮ m thì b ⋮ m.– N u a ⋮ b, b ⋮ c thì a ⋮ c.– N u ab⋮ c mà ƯCLN(b , c) = 1 thì a⋮ c.– N u a⋮ m, b⋮ n thì ab⋮ mn.– N u a⋮ b, a⋮ c v i ƯCLN(b , c) = 1 thì a⋮ bc.– Trong m s nguyên liên tiÕp, bao giê cũng t n t i m t s là b i c a m.1. Ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + by =c.vÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2x + 25y = 8 (1) Gi¶i:Cã thÓ dÔ d ng thÊy r»ng y ch½n. §Æt y =2t ph−¬ng tr×nh (1) trë th nh: x + 25t = 4Tõ ®ã ta cã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.  x = 4 − 25t   y = 2t t ∈ Z Chó ý: ta cßn cã c¸ch thø hai ®Ó t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn. §ã l ph−¬ng ph¸pt×m nghiÖm riªng ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn. Ta dùa v o ®Þnh lý sau:NÕu ph−¬ng tr×nh ax + by =c. víi (a;b) = 1 cã nghiÖm l ( x0; y0) th× mäi nghiÖm nguyªncña ph−¬ng tr×nh nhËn tõ c«ng thøc.  x = x0 + bt   y = y0 − at t ∈ Z §Þnh lý n y chøng minh kh«ng khã ( b»ng c¸ch thÕ trùc tiÕp v o ph−¬ng tr×nh) dùa v o®Þnh lý n y ta chØ cÇn t×m mét nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh ax + by =c.§èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh cã hÖ sè a,b,c nhá th× viÖc t×m nghiÖm riªng kh¸ ®¬n gi¶nxong víi ph−¬ng tr×nh cã c¸c hÖ sè a,b,c lín th× kh«ng dÔ d ng chót n o, do ®ã ta ph¶idïng ®Õn thuËt to¸n ¥clÝt. 3 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn2.§−a vÒ ph−¬ng tr×nh −íc sè:VÝ dô2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2 x + 5 y + 3xy = 8 (2) Gi¶i:(2) ⇔ x ( 2 + 3 y ) + 5 y = 8⇔ 3  x ( 2 + 3 y ) + 5 y  = 24  ⇔ 3 x ( 2 + 3 y ) + 15 y = 24⇔ 3 x ( 2 + 3 y ) + 15 y + 10 = 34⇔ 3 x ( 2 + 3 y ) + 5(2 + 3 y ) = 34⇔ ( 2 + 3 y ) (3 x + 5) = 34 V× 34=17.2=34.1=(-17).(-2) = (-1).(-34) nªn ta cã b¶ng kÕt qu¶: 3x + 5 -34 -1 2 17 2 + 3y -1 -34 17 2 x -13 -2 -1 4 y -1 -12 5 0VÝ dô3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x + 2 y + 3xy − 2 x − y = 6 (3) 2 2 ...