Bài giảng Phương pháp số: Bài 6 - ThS. Nguyễn Thị Vinh

Bài giảng Phương pháp số: Bài 6 do ThS. Nguyễn Thị Vinh biên soạn nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy. Nội dung bài giảng gồm: Phương trình vi phân (phương trình vi phân) cấp n, nghiệm của phương trình vi phân cấp n, nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp n,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp số: Bài 6 - ThS. Nguyễn Thị Vinh BÀI 6 NGHIỆM CỦA CÁC PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (1) 1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN (PTVP) CẤP n y(n)(x) = f(x, y(x), y´(x) , …, y(n–1)(x)) 2. NGHIỆM CỦA PTVP CẤP n: Nghiệm của PTVP cấp n là một hàm Φ(x) khả vi liên tục đến cấp n trên khoảng đang xét và Φ(n)(x) = f(x, Φ(x), Φ’(x), Φ’’(x), …, Φ(n-1)(x)) Nghiệm tổng quát của PTVP cấp n thƣờng chứa n hằng số tùy ý, và do vậy tồn tại một họ n tham số của các nghiệm Nghiệm của bài toán giá trị đầu: Tìm nghiệm riêng suy từ nghiệm tổng quát của PTVP sao cho nó thỏa mãn n giá trị đầu đã biết y(x0), y’(x0), …, y(n–1)(x0) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (2) 3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n: • PTVP là tuyến tính cấp n y(n)(x) + p1(x)y(n–1)(x) +… + pn-1(x)y´(x) + pn(x)y(x) = q(x) • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n (khi vế phải q(x) = 0) i> Nếu y1(x), y2(x), . . . , ym(x) là các nghiệm bất kì của PTVP tuyến tính thuần nhất thì tổ hợp tuyến tính của chúng C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cmym(x) cũng là một nghiệm Ii> Các nghiệm y1(x), y2(x), . . . , ym(x) này đƣợc gọi là độc lập tuyến tính nếu định thức hàm ( ... y1m1) y1 y2 ... y '2 ... ... y ( m1) 2 0 ... ... ym PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6 ' y1 y 'm ... y ( m1) m 3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (3) 3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n: • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n (tiếp) iii> Nếu y1(x), y2(x), . . . , yn(x) là n nghiệm độc lập tuyến tính của PTVP thuần nhất cấp n, thì tổ hợp tuyến tính của chúng Y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cnyn(x) đƣợc gọi là nghiệm tổng quát. • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n với các hệ số hằng y(n) + an–1y(n–1) + · · · + a0y = 0 (*) có nghiệm dạng eβx với β thỏa mãn PT đặc tính βn + an–1βn–1 + · · · + a0 = 0 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6 (**) 4 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (4) 3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n: • PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n với các hệ số hằng: - Nếu phƣơng trình (**) có n nghiệm thực phân biệt βi thì Y(x)  C1eβ1x  C2 eβ2x  ... Cn e βn x là nghiệm tổng quát của của PTVP thuần nhất cấp n (*) - Nếu β1 = α + iβ là một nghiệm phức của (**), thì β2 = α – iβ cũng là một nghiệm của PT đặc tính (**) - Nếu β là một nghiệm kép của PT đặc tính (**), thì y1  e βx βx và y 2  xe cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất (*) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6 5