Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 7: Phương trình vi phân thường bậc I

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 7: Phương trình vi phân thường bậc I cung cấp cho học viên các kiến thức về phân loại đạo hàm (vi phân), phân loại phương trình vi phân, phương pháp đơn bước – tường minh, phương pháp Euler tường minh, phương pháp Euler ẩn tàng, phương pháp Taylor bậc hai, phương pháp Runge-Kutta bậc 2 (RK2), phương pháp Runge-Kutta bậc 3 (RK3),... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 7: Phương trình vi phân thường bậc I Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 7:Phương trình trình vi phân thường bậc I Thời lượng: 3 tiết 2 Nội dung bài học 9phương pháp 3 Phân loại đạo hàm (vi phân) Đạo hàm Đạo hàm Đạo hàm riêng dv u dt yv là 1 hàm của biến u là hàm của hơn 1 độc lập t biến độc lập (x,y,z,t,…) 4 Phân loại phương trình vi phân Phương trình vi phân Phương trình vi phân thường Phương trình đạo hàm riêng d v2 u u 2 2  6tv  1  2 0 dt 2 y 2 x Gồm 1 hoặc nhiều đạo Gồm một hay nhiều đạo hàm hàm toàn phần củacủa các hàm ẩn số theo một biến độc lập các hàm ẩn số theo nhiều biến độc lập 5 Khái niệm phương trình vi phân- Phương trình vi phân (PTVP) là một phương trình mà chứa đạo hàm của một hàm số chưa biết. Nghiệm của PTVP chính là hàm số mà thỏa mãn PTVP đó.- PTVP mà chỉ có một biến số thì được gọi là Phương trình vi phân thường (Ordinary Differential Equation - ODE) x là biến độc lập; y là biến phụ thuộc  Phương trình có chứa x, y, dy/dx  dy   PTVP thường bậc 1 là phương trình chứa f  x , y ,   0 (1) hàm x, hàm y và dy/dx  dx  dy- Ví dụ 1:  ax 2  by  0 PTVP thường bậc 1 (dy/dx), tuyến tính (đối với y) dx dy- Ví dụ 2:  a yxb y  0 PTVP thường bậc 1 (dy/dx), phi tuyến (đối với y) dx 6 Phương trình vi phân đầy đủ d- Ví dụ 1: y  x   ax  b  y  x   0 2 dx d- Ví dụ 2: y  x  a  y  x  x  b y  x  0 dx y(x) là hàm ẩn x – biến độc lập 7 Bậc của phương trình vi phând x t   x  t   et PTVP bậc 1 dtd 2 x t  d x t  2 5  2 x  t   cos  t  PTVP bậc 2 dt dtd 3 x t  d x t  3   2 x 4 t   1 PTVP bậc 3 dt dt 8 Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến Một PTVP là tuyến tính nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện với lũy thừa bằng 1. Không có tích của hàm số và/hoặc đạo hàm của nó. d x t - Ví dụ 1:  x t   e t - PTVP tuyến tính dt d 2 x t  d x t - Ví dụ 2:  5  2t 2 x  t   cos  t  - PTVP phi tuyến dt 2 dt  d x t   2   2t x  t   cos  t  2- Ví dụ 3:  - PTVP phi tuyến  dt  9 Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyếnMột PTVP là phi tuyến nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiệnvới lũy thừa khác 1. Ngoài ra có thể có tích của hàm số và/hoặc đạohàm của nó. d x t - Ví dụ 4:  cos  x  t    e t - PTVP phi tuyến dt d 2 x t  d x t - Ví dụ 5: 2 5  x t   2 - PTVP phi tuyến ...