Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân

Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân có nội dung trình bày về phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến, công thức Runge-Kuta bậc 4, giải hệ phương trình vi phân cấp 1, giải phương trình vi phân cấp cao... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân Chöông 5 :Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaânCho phöông trình vi phaân caáp1 y ( x) = f ( x, y ( x)) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y ( x0 ) = y0 .Tính gaàn ñuùng giaù trò y (b) vôùi b baát kyø cho tröôùc1) Phöông phaùp Euler :a)Noäi dung : Chia ñoaïn [ a , b] thaønh n phaàn ñeàunhau , bôûi caùc ñieåm chiax0 = a < x1 = x0 + h < x2 = x0 + 2h < < ... < xn = b = a + nh Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 1 yi +1 = yi + k k = h f ( xi , yi ) (2) [ e L (b − a ) − 1] hMb) Sai soá : y gd (b) − yd (b) ≤ 2L ∂f L = Max ( x, y ) ∂yVí duï : Phöông trình y ( x) = 1 + ( x − y ) 2vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y (2) = 1 .Tính gaàn ñuùng nghieäm y (2.6) vôùi böôùc h = 0.2 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 22) Phöông phaùp Euler caûi tieán a) Noäi dung : k1 + k2 yi +1 = yi + 2 k1 = hf ( x i , y i ) k 2 = hf ( x i +1 , y i + k1 ) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 3Ví duï : Giaûi phöông trình y ( x) = 1 + ( x − y ) 2 vôùiñieàu kieän ban ñaàu y ( 2) = 1 trong ví duï tröôùc theophöông phaùp Euler caûi tieán , keát quaû nhö sau : Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 43) Coâng thöùc Runge – Kutta baäc 4 :a) Coâng thöùc 1 y ( xi +1) = y ( xi ) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6 k1 = hf ( xi , yi ) h k1 k 2 = hf ( xi + , yi + ) 2 2 h k2 k3 = hf ( xi + , yi + ) 2 2 k4 = h f ( xi +1 , yi + k3 ) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 5Ví duï : Giaûi phöông trình y ( x) = 1 + ( x − y ) 2 vôùiñieàu kieän ban ñaàu y (2) = 1 trong ví duï tröôùc theophöông phaùp Runge-Kutta , keát quaû nhö sau : Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 64) Giaûi heä phöông trình vi phaân caáp 1 :  y = F ( x, y , z )Giaû söû ta caàn giaûi heä :  trong ñoù  z = G ( x, y , z )y = y (x) , z = z (x) laø nhöõng haøm phaûi tìm vaø thoûañieàu kieän ban ñaàu y(x0 ) = y0 , z ( x0 ) = z0Phöông phaùp Euler yi +1 = yi + h F ( xi , yi , zi ) zi +1 = zi + h G( xi , yi , zi ) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 7  y ( x) = z ( x)Ví duï : Cho heä   z ( x) = 2 z ( x) − y ( x) + x vôùi ñieàu kieän y (0) = 1 , z (0) = 0 .Tìm y (1) vaø z (1) neáu soá böôùc chia laø n = 4 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 85) Giaûi phöông trình vi phaân caáp cao :Giaûi phöông trình vi phaân caáp 2y ( x) + p( x) y ( x) + q( x) y ( x) = f ( x)vôùi ñieàu kieän ñaàu y ( x0 ) = y0 , y ( x0 ) = y0/Ñöa veà heä phöông trình vi phaân caáp 1 baèng pheùpñoåi bieán y ( x) = z ( x) , y ( x) = z ( x) y = zHeä  vôùi ñieàu kieän  z = − p( x) z − q( x) y + f ( x)ban ñaàu y ( x0 ) = y0 vaø z ( x0 ) = y 0/ = z0 .Heä naøy ñaõ bieát caùch giaûi Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 9