Bài giảng Phương pháp tính: Chương 5 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Bài giảng Phương pháp tính: Chương 5 trình bày phương pháp giải phương trình vi phân thường bao gồm bài toán côsi (giá trị đầu), bài toán biên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính: Chương 5 - TS. Nguyễn Quốc Lân BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV CHƯƠNG 5GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006) NỘI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU) 1 – PHƯƠNG PHÁP EULER 2 – EULER CẢI TIẾN + RUNGE – KUTTA 3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAOB- BÀI TOÁN BIÊN 1- PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN BÀI TOÁN CÔSI --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường & điều kiện đầu  y = f (t , y ), a ≤ t ≤ b   y (a ) = αGiải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau, độ dài h= (b – a)/n, (n + 1) điểm chia t0 = a < t1 = a + h < … < tn = b y1 = ? y0 = α a h b a = t0 t1 t2 b = tn Cần tính gần đúng giá trị wk ≈ yk = y(tk), k = 1 → n MINH HOẠ Ý TƯỞNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  y = −5 y + 5t 2 + 2t , 0 ≤ t Bài toán Côsi:  Với bước chia h =  y (0) = 1 3 0.5 f ( x + h) − f ( x ) & công thức xấp xỉ đạo hàm 2 điểm: f ( x0 ) ≈ 0 0 h hãy tính xấp xỉ nghiệm y tại t = 0.5, t = 1. Từ đó xây dựng đa thức nội suy Lagrange (spline) ygđ và vẽ 1 −5 t đồ thị so sánh với nghiệm chính xác g(t) = t + 3 e 2Điểm chia: t0 = 0 t1 = 0.5 t 2 = 1.Kết quả tìm y ( 0.5) = −0.5 ygñ.Lagrang = at 2 + bt + c eđược: y (1.0 ) = 1.875 ⇒ ygñ = 6.42t 2 − 4.87t + 0.33 CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Btoán Côsi: Tìm y(t) Sơ đồ Euler (i = 0 → n – 1) y = f (t , y ), t ∈ [ a, b] w0 = α . Giaû wi ñaõ ⇒ söû bieát wi +1 = wi + hf (ti , wi ) y (a ) = αChia [a, b] → n đoạn S/đ Euler cải tiến (i = 0 → n – 1) b−ah= , ti = a + ih w0 = α . Giaû wi ñaõ ⇒ söû bieát nTính wi, i = 0 → n k1 = hf (ti , wi ), k 2 = hf (ti + h, wi + k1 ) wi +1 = wi + (k1 + k 2 ) 2Sơ đồ Runge – k1 = hf (ti , wi ), k 2 = hf (ti + h 2 , wi + k1 2) Kutta: w0 = α. k3 = hf (ti + h 2 , wi + k 2 2), k 4 = hf (ti +1 , wi + k3 )  w = w + ( k + 2k + 2k + k ) 6Giả sử biết wi ⇒  i +1 i 1 2 3 4 VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bằng p/pháp Euler, giải bài toán Côsi với n = 3 đoạn chia:  y = y − t 2 + 1, 0 ≤ t ≤ 1   y (0) = 0.5 So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm g(t) = (t+1)2 – 0.5et. 1 Từ đó tính xấp xỉ tích phân bằng c/t hình thang: I = ∫ y (t )dt 0 ...