Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân thường - Nguyễn Thị Cẩm Vân

Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân thường, cung cấp những kiến thức như bài toán cauchy; hệ phương trình vi phân; bài toán biên tuyến tính cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân thường - Nguyễn Thị Cẩm Vân PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ Nguyễn Thị Cẩm Vân Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Ngày 12 tháng 2 năm 2018Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 1 / 45NỘI DUNG1 BÀI TOÁN CAUCHYNguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 45NỘI DUNG1 BÀI TOÁN CAUCHY2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNNguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 45NỘI DUNG1 BÀI TOÁN CAUCHY2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN3 BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH CẤP 2Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 2 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đềNhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫnđến việc giải phương trình vi phân. Bài toánđơn giản nhất là bài toán CauchyNguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 3 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đềNhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫnđến việc giải phương trình vi phân. Bài toánđơn giản nhất là bài toán Cauchy y (x) = f (x, y(x)), a x b, (1) y(a) = y 0Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 3 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đềNhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫnđến việc giải phương trình vi phân. Bài toánđơn giản nhất là bài toán Cauchy y (x) = f (x, y(x)), a x b, (1) y(a) = y 0với y = y(x) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn[a, b], y 0 là giá trị ban đầu cho trước của y(x)tại x = a.Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 3 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đềĐối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìmđược nghiệm đúng của một số phươngtrình đơn giản, còn đối với trường hợpf (x, y) có dạng bất kỳ thì nói chung khôngcó phương pháp giải.Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 4 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đềĐối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìmđược nghiệm đúng của một số phươngtrình đơn giản, còn đối với trường hợpf (x, y) có dạng bất kỳ thì nói chung khôngcó phương pháp giải.Ngoài ra, trong những trường hợp có thểtìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1)quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng.Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 4 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đềĐối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìmđược nghiệm đúng của một số phươngtrình đơn giản, còn đối với trường hợpf (x, y) có dạng bất kỳ thì nói chung khôngcó phương pháp giải.Ngoài ra, trong những trường hợp có thểtìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1)quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng.Vì vậy, việc tìm những phương pháp giảigần đúng bài toán Cauchy có vai trò rấtquan trọng trong thực tế.Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 4 / 45 Bài toán Cauchy Công thức EulerĐể tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) tachia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng b−anhau với h = . Khi đó các điểm chia là nx 0 = a, x k = x 0 + kh, k = 0, 1, 2, . . . , n, x n = b. Giátrị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm x kđược ký hiệu là y k và ta có y k ≈ y(x k )Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 5 / 45 Bài toán Cauchy Công thức EulerĐể tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) tachia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng b−anhau với h = . Khi đó các điểm chia là nx 0 = a, x k = x 0 + kh, k = 0, 1, 2, . . . , n, x n = b. Giátrị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm x kđược ký hiệu là y k và ta có y k ≈ y(x k )Giả sử y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán(1), có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên đoạn[a, b]. Với mỗi k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 theo côngthức Taylor trên đoạn [x k , x k+1], ta cóNguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ngày 12 tháng 2 năm 2018 5 / 45 ...