Giáo trình Giải tích 4 - Nguyễn Thành Long

Giáo trình Giải tích 4 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Phương trình vi phân cấp 1; Phương trình vi phân cấp 2; Sơ lược về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao và hệ phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Giải tích 4 - Nguyễn Thành Long Nguyễn Thành Long Khoa Toán-tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh GIẢI TÍCH 4 TP. Hồ Chí Minh 2012 Mục lục Mục lục 1 1 Phương trình vi phân cấp 1 3 1.1 Các ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Các khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát. . . . . . . 12 1.5 Cách giải một số dạng phương trình vi phân cấp một thường gặp. . . . . . . . . 22 1.5.1 Phương trình vi phân cấp 1 tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.4 Phương trình vi phân Bernuoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5.5 Phương trình vi phân Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.6 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.7 Phương trình đưa về phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . 35 2 Phương trình vi phân cấp 2 38 2.1 Các khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Phương trình vi phân dạng y 00 = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2 Phương trình vi phân dạng y 00 = f (x; y 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.3 Phương trình vi phân dạng y 00 = f (y; y 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có hệ số hằng . . . . 48 2.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có hệ số hàm . . . . . 50 2.3.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất . . . . . . . . . 52 2.3.6 Phương pháp biến thiên hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.7 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4 Phương trình vi phân Euler cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.2 Phương trình vi phân Euler thuần nhất cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.3 Phương trình vi phân Euler không thuần nhất cấp 2 . . . . . . . . . . . . 64 2.5 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.1 Bổ túc về hàm véctơ, ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 Sơ lược về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao và hệ phương trình vi phân 72 3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.1 Một vài khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1 Chương 0. MỤC LỤC 2 3.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.2 Dạng véctơ của hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. . . . . . . . . . 76 3.2.3 Biến đổi phương trình vi phân tuyến tính cấp cao về hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2.4 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 79 Tài liệu tham khảo ...