Bài giảng Phương trình vi phân - ĐH Phạm Văn Đồng

Phương trình vi phân là bài toán xuất phát từ cơ học, vật lý, sinh học. Sau khi học môn Phương trình vi phân, người học sẽ được trang bị những kiến thức để có thể tiếp cận các môn học ở các bậc học tiếp theo như phương trình đạo hàm riêng, toán cho vật lý, phương trình toán lý.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình vi phân - ĐH Phạm Văn ĐồngỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃITRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNGBÀI GIẢNGPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNLIÊN VƯƠNG LÂMTổ Toán- Lý- Khoa Cơ BảnQuảng Ngãi - 2013ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃITRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNGBÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNHVI PHÂNLIÊN VƯƠNG LÂMTổ Toán- Lý- Khoa Cơ BảnQuảng Ngãi- 2013Mục lụcMở đầuv1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT11.1Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.1Các định nghĩa và khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.1.2Định nghĩa phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.3Bài toán Cauchy và ý nghĩa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . .51.3Các loại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.3.1Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.3.2Nghiệm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.3.3Nghiệm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Phương trình biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.4.1Phương trình biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.4.2Phương trình chuyển về biến số phân ly được . . . . . . . . . . . . . .91.41.5Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.71.6.1Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.2Phương pháp Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6.3Phương pháp thừa số tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Phương trình vi phân Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18iii1.8Phương trình vi phân Dacbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9Phương trình vi phân Ricati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.11 Thừa số tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CHƯA GIẢI RA ĐẠO HÀM2.1Các phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đạo hàm dạng đặc biệt . . . . 282.1.12.1.22.1.32.228 fi px, yqPhương trình dạng F px, y 1 q 0Phương trình dạngdydx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Phương trình không chứa biến số độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . 31Phương trình Lagrange và phương trình Clero . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2Phương trình Clero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO363.1Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.1Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n . . . . . . . . . . . . 383.3Tích phân trung gian- tích phân đầu3.4Phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương . . . . . . . . . . . 403.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.1Phương trình chỉ chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất. . . . 403.4.2Phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp n và cấp pn 1q. . . . . . . . . . 42Phương trình vi phân cấp cao hạ cấp được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.1Phương trình không chứa hàm phải tìm và các đạo hàm của nó đếncấp k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.2Phương trình không chứa biến số độc lập. . . . . . . . . . . . . . . . 45iii4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP n484.1Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2Lý thuyết tổng quát về phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n4.3Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n. . . . . 49. . . . . . . . . . . . . . . 534.3.1Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.2Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 545 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP n DẠNG ĐẶC BIỆT5.15.2Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . 595.1.1Phương trình đặc trưng có n nghiệm thực khác nhau . . . . . . . . . . 605.1.2Phương trình đặc trưng có n nghiệm khác nhau và có nghiệm phức . . 615.1.3Phương trình đặc trưng có nghiệm bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.4Phương trình tuyến tính không thuần nhất ...