BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Số tín chỉ: 2)

Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý, khoa học xã hội ta thường gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP). PTVP là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của nó. - Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập thì ta có PTVP thường. - Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Số tín chỉ: 2) Trường ĐHQN Khoa Toán BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Số tín chỉ: 2) Dành cho sinh viên : Khoa Hóa Hệ : Tổng hợp Khóa : 33 Năm học : 2011-2012 Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan -1-Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT §1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý, khoa học xã hội ta thường gặp các bài toándẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàmcủa hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP). PTVP là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của nó. - Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập thì ta có PTVP thường. - Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến độc lập thì ta có phương trình đạo hàm riêng. - Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó. - Nghiệm của PTVP là mọi hàm thỏa mãn phương trình ấy. Trong học phần này ta chỉ xét đến PTVP thường (còn gọi là PTVP). 1Ví dụ: y + y = 0 là PTVP cấp một, y = cos x là PTVP cấp hai. x ∂u ∂u x +y = 0 là phương trình đạo hàm riêng cấp một. ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2 u + = 0 là phương trình đạo hàm riêng cấp hai. ∂x 2 ∂y 21.1 Định nghĩa: PTVP cấp một có dạng: F ( x, y, y ) = 0 (1) Nếu giải được đối với y thì PTVP cấp một có dạng dy y = f ( x, y ) hay = f ( x, y ) (2) (dạng chuẩn) hoặc dx P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = 0 (3) ( dạng vi phân) = e x cos x, xydx + ( x 2 + y 2 ) dy = 0 là các PTVP cấp một. dyVí dụ: y = 2 y , x dx1.2 Nghiệm của PTVP cấp một: là hàm thỏa mãn phương trình ấy. - Nghiệm tổng quát của PTVP cấp một là nghiệm có chứa một hằng số tùy ý. y = ϕ ( x, C ) , C = const .Ví dụ hàm y = Cx 2 , C = const là nghiệm tổng quát của PT y = 2 y . x Về mặt hình học nghiệm tổng quát xác định một họ đường (cong) gọi là họ đườngtích phân. - Nghiệm riêng của PTVP cấp một là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quátbằng cách chọn hằng số phù hợp.Chú ý: - Đôi khi giải PTVP ta không tìm được nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh -2-y = ϕ ( x, C ) , C = const mà được một hệ thức dạng Φ ( x, y, C ) = 0, C = const nó xác địnhnghiệm tổng quát dưới dạng ẩn. Hệ thức ấy được gọi là tích phân tổng quát. Hệ thứcΦ ( x, y, C0 ) = 0 được gọi là tích phân riêng. - PTVP có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát đó lànhững nghiệm kỳ dị.1.3 Bài toán Cauchy (bài toán đầu): PTVP dạng y = f ( x, y ) cùng với điều kiệny ( x0 ) = y0 lập nên bài toán Cauchy (bài toán đầu) của PTVP cấp một. Điều kiệny ( x0 ) = y0 với x0 , y0 là các hằng số cho trước được gọi là điều kiện đầu.Ví dụ: Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu y (1) = 2 của phương trình y = 2 y . x1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy: Xét phương trình y = f ( x, y ) ∂f Định lý: Nếu các hàm f ( x, y ) và liên tục trong hình chữ nhật D có chứa điểm ∂y ( x0 , y0 ) thì tồn tại một lân cận của điểm x0 sao cho PTVP y = f ( x, y ) có một nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện y ( x0 ) = y0 , nghĩa là bài toán Cauchy y ( x0 ) = y0 của PTVP y = f ( x, y ) có một nghiệm duy nhất. §2 CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CẤP MỘT2.1 Phương trình phân ly biến số (tách biến) A ( x ) dx = B ( y ) dy1. Phương trình dạng: (1) trong đó A ( x ) là hàm số liên tục của biến x, B ( y ) là hàm số liên tục của biến y đượcgọi là phương trình tách biến. Để giải (1) ta chỉ cần tích phân hai vế. dy = 3x 2 ( y + 2 ) ( *)Ví dụ 1: a) Giải phương trình vi phân: dx b) Tìm nghiệm bài toán Cauchy y ( 0 ) = 0 của (*) .Ví dụ 2: Thực nghiệm chỉ ra các chất phóng xạ như uranium có tốc độ phóng xạ tỉ lệvới khối lượng M ( t ) tại thời điểm đang xét. Ta có thể viết công thức để tính khối lượng tại bất kỳ thời điểm nào bằng cáchgiải phương trình ...