Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 11 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài giảng bài 11 cung cấp cho người học những kiến thức về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi và một số nội dung cơ bản về hệ phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 11 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 11 §3. Phương trình vi phân cấp hai (TT)4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổic) Phương trình Euler x 2 y ′′ + axy ′ + by = 0, a, b ∈ Cách giải.• Đặt x = et ⇒ t = ln x dy dy dt 1 dy dy• y′ = = . = ⇒ xy ′ = dx dt dx x dt dt d d  1 dy  1 dy 1 d  dy  dt• y ′′ = y′ =  . = − 2 + .  . dx dx  x dt  x dt x dt  dt  dx 1 dy 1 d 2y 1  d 2 y dy  2 2 y ′′ = d y − dy = − 2 + 2 =  −  ⇒ x x dt x dt 2 x 2  dt 2 dt  dt 2 dt d 2 y dy dy d 2y dy• Thay vào có − + a + by = 0 ⇔ + ( a − 1) + by = 0 là phương trình dt 2 dt dt dt 2 dtvi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổiVí dụ 1. Giải phương trình vi phâna) x 2 y ′′ + 2 xy ′ − 6 y = 0 (1)b) x 2 y ′′ − 9 xy ′ + 21y = 0 c) x 2 y ′′ + xy ′ + y = x y′ y 2d) x 2 y ′′ − 2 xy ′ + 2y + x − 2 x 3 = 0 e) y ′′ − + 2 = x x xGiải a)• x = et ⇒ t = ln x 1 dy 1  d 2 y dy  dy 2 2 y ′′ = d y − dy• y′ = . , y ′′ = 2  2 −  ⇒ xy ′ = , x x dt x  dt dt  dt dt 2 dt d 2 y dy dy d 2 y dy• Thay vào ta có − + 2 − 6 y = 0 ⇔ + − 6y = 0 (2) dt 2 dt dt dt 2 dt• Phương trình đặc trưng r 2 + r − 6 = 0 ⇔ r = 2, r = −3• (2) có nghiệm tổng quát y = c1e 2t + c2e −3t c2• (1) có nghiệm tổng quát y = c1e 2 ln x + c2e −3 ln x = c1x 2 + x3Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân x 2 y ′′ − 2 xy ′ + 2y = 3 x 2, x > 0 bằng cách đặt x = et 3 2 2 ( y = (C1 + C2 ln x )x 2 + x ln x ) 2 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn §4. Hệ phương trình vi phân• Đặt vấn đề− Các quy luật của tự nhiên không diễn ra đơn lẻ mà gồm nhiều quá trình đan xen nhau− Hệ phương trình vi phân tuyến tính giải quyết nhiều bài toán nêu trên, chẳng hạn như :1°/ Ví dụ 1. Xét hệ hai khối lượng và hai lò xo như trong Hình 1,với một lực tác động từ bên ngoài f (t ) bên phải khối lượng m2 .Ta kí hiệu x (t ) là hàm vị trí (sang phải) của khối lượng m1 từtrạng thái cân bằng (khi hệ bất động và cân bằng với f (t ) = 0 )và y (t ) là vị trí của khối lượng m2 từ trạng thái tĩnh của nó. Hình 1. Hệ khối lượng và m x = −k1x + k 2 ( y − x )− Có mô hình toán là  1 lò xo trong Ví dụ 1 m2 y = −k2 ( y − x ) + f (t )2°/ Ví dụ 2. Xét hai thùng nước muối được nối với nhau nhưtrong Hình 2. Thùng 1 chứa x(t) pounds muối trong 100 galloncủa nước biển và thùng 2 chứa y (t ) pounds muối trong 200gallon nước biển. Nước biển trong mỗi thùng được giữnguyên bởi các vòi bơm và nước biển thùng này sang thùngkhác với tốc độ chỉ ra trên Hình 2. Thêm nữa nước nguyênchất chảy vào thùng 1 với tốc độ 20gal/phút và nước muốitrong thùng 2 chảy ra với tốc độ 20gal/phút Hình 2. Hai thùng nước  ′ 3 1 biển trong Ví dụ 2  x = − 10 x + 20 y− Có mô hình toán là  y ′ = 3 x − 3 y  10 203°/ Ví dụ 3. Xét mạch điện như trong Hình 3, ở đóI1 (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua cảm biến L vàI2 (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua điện trở R2 .Dòng điện chạy qua điện trở R1 là I = I1 − I2 theohướng đã chỉ.  dI1  dt + 25I1 − 25I2 = 50 Hình 3. Mạng điện− Có mô hình toán là  trong Ví dụ 3 2 dI1 − 3 dI2 − 5I = 0  dt dt 21. Đại cương− Định nghĩa. Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có dạng  y1′ = f1( x, y1, y 2, … , y n )  y ′ = f ( x, y , y , … , y )  2 2 1 2 n  (1)   y n′ = fn ( x, y1, y 2, … , y n ) PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∂fi− Định lí 1. Giả sử các hàm fi ( x, y1, y 2, … , y n ) và các đạo hàm riêng ...