Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 3 cung cấp cho người học những kiến thức về chuỗi hàm số. Bài này trình bày những nội dung chính sau: Chuỗi hàm số hội tụ, chuỗi hàm số hội tụ đều, tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 3 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 3 § 4. Chuỗi hàm số• Đặt vấn đề.1. Chuỗi hàm số hội tụĐịnh nghĩa: Cho dãy hàm số {un ( x )} xác định trên X , ta định nghĩa chuỗi hàm số ∞ u1 ( x ) + u2 ( x ) + ≡ ∑ un ( x ) (1) n =1 ∞ ∞∑ un ( x ) hội tụ tại x0 ⇔ chuỗi số ∑ un ( x0 ) hội tụn =1 n =1 ∞ ∞∑ un ( x ) phân kì tại x0 ⇔ chuỗi số ∑ un ( x0 ) phân kìn =1 n =1Tập các điểm hội tụ của (1) gọi là tập hội tụ của nó. Tổng của chuỗi hàm số là hàmsố xác định trong tập hội tụ của nó.Ví dụ 1. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau ∞ ∞ ∞ ∞ cos nx 1 xna) ∑x n −1 b) ∑ n2 + x 2 c) ∑ nx ( x > 1) d) ∑ n! () n =1 n =1 n =1 n =1 sin ( 2n 2 + 4 ) x ∞ ∞ π πe) ∑ ( 3n + 1)2 () f) ∑ ( −1)n −1 e − n cos x (− 2 + k 2π < x < 2 + k 2π ) n =1 n =1 ∞ n +1 ( −1) 1g) ∑ n 5 n ( x − 3 )n ( x −3 > 5 ) n =1Hướng dẫn. ∞a) ∑ x n −1 n =1 ∞+) Xét chuỗi số ∑ x0n −1 (2) n =1+) (2) hội tụ với x0 < 1 +) Tại x0 = 1, (2) phân kì +) Tập hội tụ: x < 1 ∞ cos nxb) ∑ n2 + x 2 n =1 ∞ cos nx0 cos nx0 1+) Xét chuỗi số ∑ n2 + x02 (2) +) n 2 + x02 ≤ n2 ⇒ (2) hội tụ với mọi x0 n =1+) Tập hội tụ PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vnVí dụ 2. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau ∞ ( −1)n −1 x 2n + 3 ∞ n3 4x − 3 n 3 a) 1) ∑ 2n ( ) ( −3 ≤ x < 3 ) b) 1) 2 ∑ x ( ; 1 ) ...