Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 4 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 4 của bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi trình bày những kiến thức về chuỗi luỹ thừa. Trong bài này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định nghĩa về chuỗi lũy thừa, các tính chất của chuỗi lũy thừa và cách khai triển thành chuỗi luỹ thừa. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 4 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 4 § 5 Chuỗi luỹ thừa • Định nghĩa • Các tính chất • Khai triển thành chuỗi luỹ thừa• Đặt vấn đề1. Định nghĩa. a0 + a1x + a2 x 2 + + an x n + (1) ∞Ký hiệu là ∑ an x n , ở đó an là các số thực, x là biến số. n =0 ∞Ta bảo chuỗi luỹ thừa hội tụ (phân kỳ) tại x0 ⇔ chuỗi số ∑ an x0n hội tụ (phân kỳ), n =0 ∞ ∞chuỗi ∑ an x n hội tụ trên khoảng ( a ; b ) ⇔ chuỗi số ∑ an x0n hội tụ, x0 tuỳ ý ∈ (a; b ) . n =0 n =0 ∞Ví dụ 1. ∑ xn = 1+ x + x2 + n =0 ∞ 1Đã biết hội tụ khi x < 1, có ∑ xn = 1− x n =0Phân kỳ khi x ≥ 1 ∞Định lí 1 (Abel). ∑ an x n hội tụ tại x0 ≠ 0 ⇒ hội tụ tuyệt đối tại x : x < x0 n =0 ∞Chứng minh. +) ∑ an x0n hội tụ ⇒ nlim →∞ an x0n = 0 ⇒ an x0n ≤ M, ∀ n ≥ N0 n =1 n n  x  x+) an x0n = an x0n x  ≤ M  0 x0 ∞ n ∞ x x+) x0 x0 n =0 an +1Định lý 2. Nếu lim = ρ (hoặc lim n an = ρ) thì bán kính hội tụ R của chuỗi luỹ n →∞ an n →∞ 1 ∞ ρ , 0 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vnNhận xét. • Quy ước viết R = 0 ở khẳng định 2), R = +∞ ở khẳng định 3), từ đó có thể ∞phát biểu gọn định lý này như sau: Mọi chuỗi luỹ thừa ∑ an x n đều có một bán kính hội n =0tụ R với 0 ≤ R ≤ +∞ , khi đó chuỗi hội tụ tuyệt đối với x < R và phân kỳ với x > R . an 1• Cách tìm bán kính hội tụ R : R = lim hoặc R = lim n →∞ an +1 n →∞ n a n ∞ xnVí dụ 1. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi ∑ n2 n =1 2 an 1 1  n + 1 = 2: 2 = an +1 n ( n + 1)  n  an lim =1n →∞ an +1R = 1, chuỗi hội tụ với x < 1, phân kỳ với x > 1. ∞ x2 1 1Tại x = 1 có n 2 = n 2 , mặt khác ∑ n2 hội tụ, do đó chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x = 1. n =1Khoảng hội tụ là [ −1; 1] . ∞ n+2Ví dụ 2. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ 3n ...