Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 5 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 5 của bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi tiếp tục trình bày những kiến thức về chuỗi luỹ thừa và chuỗi FOURIER . Trong bài này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về khai triển một số hàm số sơ cấp cơ bản, tìm hiểu về chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier; điều kiện để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier;... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 5 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 5 § 5. Chuỗi luỹ thừa (TT) • Khai triển một số hàm sơ cấp • Ứng dụng4. Khai triển một số hàm số sơ cấp cơ bản4.1. Một số khai triển1°°/ f ( x ) = e x• f ( n ) (0) = 1 • f ( n ) ( x ) = e x < e A = M, ∀ x ∈ ( − A ; A ) , A > 0 ∞ ∞ xn xn•e =x ∑ n ! , ∀ x ∈ ( −A ; A), A > 0 ⇒ e x = n ! ∑ , ∀x ∈ n =0 n =02° f ( x ) = cos x π ( −1)k , n = 2k  π• f ( n ) (0) = cos n = • f ( n ) ( x ) = cos  x + n  ≤ 1, ∀ x ∈ 2 0, n = 2k + 1  2 x2 x4 n x 2n• cos x = 1 − + − + ( −1) + , x ∈ 2! 4! (2n )!3° f ( x ) = sin x x3 x5 x 2n −1• sin x = x − + − + ( −1)n −1 + , x ∈ 3! 5! (2n − 1)!4° f ( x ) = (1 + x )α , α ∈ α α(α − 1) 2 α(α − 1) (α − n + 1) n• f (x) = 1+ x + x + + x + , − 1 < x < 1 1! 2! n!5° f ( x ) = ln(1 + x ) x2 x3 n −1 x n• ln(1 + x ) = x − + − + ( −1) + , − 1 < x < 1 2 3 n6° f ( x ) = arctan x x3 x5 x 2n −1• arctan x = x − + − + ( −1)n −1 + , x ∈ , − 1 ≤ x ≤ 1 3 5 2n − 1Ví dụ 1. Khai triển thành chuỗi Maclaurina) f ( x ) = a x , 0 < a ≠ 1 ∞ lnn a n x• a =e x ln a •e x ln a = ∑ n ! x , x ∈ n =0b) f ( x ) = ln(2 + x )  x  x x• ln ( 2 + x ) = ln2  1 +  = ln2 + ln  1 +  , −1 < < 1  2  2 2 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn n  x ∞ (x) ∞ ( −1)n −1 x n• ln  1 +  =  2  n =1 ∑ ( −1)n −1 2 n = ∑ n.2n n =1 ∞ xn ∑ ( −1) n −1• ln ( 2 + x ) = ln 2 + ,−2< x < 2 n =1 n.2n ∞ 2n −1 2n 1 2 xc) sin2 x ( − ∑ 2 n =0 (2n )! , x∈) x 2n +1 ∞ 1+ xd) f ( x ) = ln 1− x (2 ∑ 2n + 1 , − 1 < x < 1) n =0 x −t 2 ∞ ( −1)n x 2n +1e) f ( x ) = e ∫ dt ( ∑ n ! ( 2n + 1) ...