Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 6 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Trong bài giảng bài 6, các bạn sẽ tìm hiểu một số nội dung sau đây: Khai triển hàm chẵn, lẻ của chuỗi Fourier; phương trình vi phân; ứng dụng của phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp một;... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 6 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 6 § 6 Chuỗi Fourier (TT) • Khai triển hàm chẵn, lẻ • Khai triển hàm tuàn hoàn chu kì bất kì3. Khai triển hàm chẵn, lẻ3.1. Nếu f ( x ) là hàm số chẵn ⇒ f ( x )cos kx là hàm chẵn, f ( x ) sin kx là hàm lẻ π 2⇒ ak = π ∫ f ( x )cos kx dx; bk = 0, ∀ k ∈ 0  π − x, 0 ≤ x ≤ πVí dụ 1. f ( x ) =  tuần hoàn với chu kì 2π , khai triển hàm f ( x ) thành  π + x, − π ≤ x < 0chuỗi Fourier.+) f ( − x ) = f ( x )+) bk = 0, ∀ k ∈ π π π 2 2  2  ( π − x ) dx = 2  π x − x  = π+) a0 = π ∫ f ( x ) dx = π ∫ π 2 0 0 0 π π π 2 2 ( π − x ) cos kx dx = 2 sin kx π0 − 2  sin kx +) ak = π ∫ f ( x ) cos kx dx = π ∫ k π ∫ xd   k   0 0 0 2  x sin kx  2 − cos kx π π π sin kx 2 ( ) = 2 ( 1 − ( −1)k )= −  π  k 0 − ∫ k dx  = .  π k2 0 = π k2 1 − cos k π π k2  0  ∞ ∞ π 2 ( ( −1)k ) cos kx = π + 4+) f ( x ) = + ∑ 2 k =1 π k 2 1 − 2 ∑ π ( 2n + 1)2 cos ( 2n + 1) x n =0Ví dụ 2. Khai triển thành chuỗi Fourier theo các hàm số cosin của các hàm số sau π π ∞ cos ( 2n − 1) xa) f ( x ) = 1 − x, 0 ≤ x ≤ π (1 − + 2 4 n =1 ( 2n − 1)2 ) ∑ ∞ 1 2  cos ( 4n + 1) x cos ( 4n + 3 ) x c) f ( x ) = x ( π − x ), 0 < x < π ( + 2 π ∑   4 n + 1 − 4 n + 3 )  n =1  π 1, 0 ≤ x ≤ 2 π2 ∞ cos 2nxb) f ( x ) =  0, π ( 6 − n 2 ) ∑ ...