Bài giảng Toán 1E1 và Toán 1: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 3 trình bày về tích phân và các ứng dụng của tích phân. Nội dung chính trong chương này gồm: Định nghĩa tích phân xác định, định lý cơ bản của phép tính vi tích phân, các phương pháp tính tích phân, một số ứng dụng của tích phân, tích phân suy rộng, các tiêu chuẩn hội tụ. Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán 1E1 và Toán 1: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 3TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ThS. Huỳnh Văn Kha TÓM TẮT NỘI DUNG1. Một số bài toán mở đầu.2. Định nghĩa tích phân xác định.3. Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân.4. Các phương pháp tính tích phân.5. Một số ứng dụng của tích phân.6. Tích phân suy rộng.7. Các tiêu chuẩn hội tụ. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 2 dụng 1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU• Tính diện tích hình phẳng ? nằm trên trục ??, dưới đường ? = ? ? = 1 − ? 2 và giữa ? = 0, ? = 1. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 3 dụng • Xấp xỉ bằng tổng trên (upper sum). C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 4 dụng• Xấp xỉ tốt hơn khi tăng số khoảng chia. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 5 dụng C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 6 dụng• Có thể xấp xỉ bằng tổng dưới (lower sum). C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 7 dụng C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 8 dụng• Có thể xấp xỉ bằng các hình chữ nhật có chiều cao bằng giá trị của ? tại điểm giữa các khoảng chia. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 9 dụng• Khoảng xác định ?, ? của hàm số ? có thể được chia thành ? khoảng con có độ dài bằng nhau ?−? Δ? = ?• Chiều cao của mỗi hình chữ nhật có thể được tính bằng giá trị của ? tại một điểm tùy ý nào đó trong mỗi khoảng con.• Tổng như vậy có dạng ? ?1 ?? + ? ?2 ?? + ? ?3 ?? + ⋯ + ? ?? ??• Chú ý là tổng này vẫn chưa phải là giá trị chính xác của diện tích cần tìm. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 10 dụng C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 11 dụng Tính khoảng cách di chuyển• Nếu một vật di chuyển với vận tốc ? ? thì trong khoảng thời gian từ ? = ? đến ? = ? vật đó đi được bao xa?• Nếu biết một nguyên hàm của ? ? là ? ? thì vị trí của vật đó ở thời điểm ? là ? ? = ? ? + ?.• Quãng đường đi được là ? ? − ? ? = ? ? − ? ? .• Trong nhiều trường hợp ta không biết nguyên hàm của ? ? hoặc thậm chí chỉ biết vận tốc tại một vài thời điểm nhất định. Có cách nào xấp xỉ khoảng cách di chuyển của vật đó hay không? C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 12 dụng• Chia khoảng ?, ? thành n khoảng thời gian đều nhau có độ dài Δ?. – Trên khoảng thời gian thứ 1, chọn ?1 tùy ý. – Trên khoảng thời gian thứ 2, chọn ?2 tùy ý. – … – Trên khoảng thời gian thứ ?, chọn ?? tùy ý. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 13 dụng• Xấp xỉ quãng đường đi được như sau – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 1 xấp xỉ bằng ? ?1 Δ?. – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 2 xấp xỉ bằng ? ?2 Δ?. –… – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ ? xấp xỉ bằng ? ?? Δ?. C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng24/08/2015 14 dụng 2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH• Nhiều biểu thức tổng (như các tổng xấp xỉ nói trên) có thể được viết gọn bằng ký hiệu sigma ? ?? = ?1 + ?2 + ?3 + ⋯ + ??−1 + ?? ?=1• Ví dụ 10 12 + 22 + 32 + ⋯ + 102 = ?2 ?=1 100 ? 1 + ? 2 + ⋯ + ? 100 = ? ? ?=1 C01128 - Chương 3: ...