Bài giảng Toán 2: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương này cung cấp cho người học những kiến thức về tích phân bội. Thông qua bài học này, sinh viên có thể nắm bắt những hiểu biết về tích phân 2 lớp như: tích phân trên hình chữ nhật, tích phân trên miền tổng quát, đổi biến sang tọa độ cực... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán 2: Chương 2 - ThS. Huỳnh Văn Kha Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán 2 - MS: C01128Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 1 / 63 Nội dung 1 Tích phân hai lớp Tích phân trên hình chữ nhật Tích phân trên miền tổng quát Đổi biến sang tọa độ cực Một số ứng dụng của tích phân hai lớp 2 Tích phân ba lớp Tích phân trên hình hộp chữ nhật Tích phân trên khối bị chận Một số ứng dụng Tích phân ba lớp trong tọa độ trụ Tích phân ba lớp trong tọa độ cầu 3 Công thức đổi biến tổng quátHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 1 / 63 Bài toán tìm thể tích hàm số2 f xác định trên: R = [a,b] × [c, d] = Cho (x, y ) ∈ R : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Giả sử f (x, y ) ≥ 0, ∀(x, y ) ∈ R. Ta cần tính thể tích V của khối S: 3 S = (x, y , z) ∈ R : 0 ≤ z ≤ f (x, y ), (x, y ) ∈ RHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 2 / 63 Phân hoạch Giả sử P1 = {x0 , x1 , . . . , xn ; x1∗ , . . . xn∗ }, và P2 = {y0 , y1 , . . . , ym ; y1∗ , . . . ym∗ } là các phân hoạch của [a, b] và [c, d]. Thì P = P1 × P2 gọi là một phân hoạch của R = [a, b] × [c, d]Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 3 / 63 Tổng Riemann Tổng Riemann của hàm số f ứng với phân hoạch P như trên được định nghĩa là: Xm X n S(f , P) = f (xij∗ , yij∗ )∆xi ∆yj i=1 j=1 Với ∆xi = xi − xi−1 và ∆yj = yj − yj−1Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 4 / 63 Định nghĩa tích phân hai lớp Gọi P(R) là tập các phân hoạch của R = [a, b] × [c, d]. Với P ∈ P, đặt: |P| = max{(xi − xi−1 )(yj − yj−1 ) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} Định nghĩa Hàm f gọi là khả tích Riemann trên R nếu có α ∈ R sao cho với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa: |S(f , P) − α| ≤ ε, ∀P ∈ P(R), |P| < δ Khi đó ta gọi α làZtích Z phân của f trên R và ký hiệu: f (x, y )dxdy = α RHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 5 / 63 Một số tính chất Tích Zphân Z hai lớp có các tính chất sau: 1. [f (x, y ) + g (x, y )] dxdy R ZZ ZZ = f (x, y )dxdy + g (x, y )dxdy ZZ R ZZ R 2. cf (x, y )dxdy = c f (x, y )dxdy R R 3. Nếu f (x, y ) ≤ g (x, y ) với mọi (x, y ) ∈ R thì: ZZ ZZ f (x, y )dxdy ≤ g (x, y )dxdy R RHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 6 / 63 Tích phân lặp Cho f là hàm xác định trên R = [a, b] × [c, d] Cố định x ∈ [a, b], lấy tích phân theo y , ta được: Z d A(x) = f (x, y )dy c Sau đó lấy tích phân A(x) từ a tới b ta được: Z b Z b Z d A(x)dx = f (x, y )dy dx a a c Z bZ d ≡ f (x, y )dy dx a c Tích phân trên gọi là một tích phân lặpHuỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 7 / 63 Tương tự, lấy tích phân theo x trước, rồi sau đó lấy tích phân theo y ta cũng được một tích phân lặp: Z d Z b Z dZ b f (x, y )dx dy ≡ f (x, y )dxdy c a c a Ví dụ: Z 3Z 2 Z 3 # 2 y =2 y x 2 y dy dx = x 2 dx 0 1 0 2 y =1 Z 3 3 ...